Практическое занятие 1 (4 часа)
Тема: Постановка задачи линейного программирования.
Симплексный метод решения задач линейного программирования
1. Постройте экономико-математическую модель определения суточного рациона, содержащего не менее суточной потребности человека в необходимых питательных веществах и обеспечивающего минимальную общую стоимость продуктов. Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся в магазине продуктов питания, а также их стоимость приведены в таблице:
| Питательные вещества | Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов | Норма суточной потребности | ||||||
| Мясо | Рыба | Молоко | Масло | Сыр | Крупа | Картофель | ||
| Белки, г | ||||||||
| Жиры, г | ||||||||
| Углеводы, г | ||||||||
| Минеральные соли, г | ||||||||
| Стоимость 1 кг продукта, руб. |
2. Построить экономико-математическую модель для определения оптимального плана объемов перевозок по следующим условиям. На четырех складах имеется продукция в количестве: А1=200, А2=300, А3=250, А4=180. Для пяти магазинов требуется продукция в количестве: В1=150, В2=100, В3=200, В4=220, В5=210. Стоимость перевозок единицы продукции из i-го склада в j-ый магазин представлены в виде матрицы: 
.
3. Постройте на плоскости X1OX2 область решений системы линейных неравенств и найдите максимальное и минимальное значения линейной функции в этой области:
, 
4. Сформулируйте вариант приготовления бензина АИ-80 и АИ-95, который обеспечивает максимальный доход от продажи, если имеется 5 т смеси 1-го сорта и 30 т смеси 2-го сорта. На изготовление бензина АИ-80 идет 60% смеси 1-го сорта и 40% смеси 2-го сорта, на изготовление бензина АИ-95 идет 80% смеси 1-го сорта и 20% смеси 2-го сорта. Реализуется 1 т бензина АИ-80 за 5 тыс. руб., а 1 т АИ-95 за 6 тыс. руб.
5. Фирма производит два безалкогольных напитка «Колокольчик» и «Буратино». Для производства 1 л «Колокольчика» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для «Буратино» - 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от реализации 1 л «Колокольчика» составляет 0,25 руб., а «Буратино» - 0,35 руб.
Определите ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.
Симплексный метод решения задач линейного программирования
6. На кондитерскую фабрику перед Новым годом поступили заказы на подарочные наборы конфет из трех магазинов. Возможные варианты наборов, их стоимость и товарные запасы на фабрике представлены в таблице:
| Наименование конфет | Вес конфет в наборе, кг | Запасы конфет, кг | ||
| А | В | С | ||
| Сникрес | 0,3 | 0,2 | 0,4 | |
| Марс | 0,2 | 0,3 | 0,2 | |
| Баунти | 0,2 | 0,1 | 0,1 | |
| Цена, руб. |
Определить оптимальное соотношение количества подарочных наборов, которые фабрика может предложить магазинам и обеспечить максимальный доход от продажи.
7. Постройте экономико-математическую модель определения структуры блюд на предприятии общественного питания, обеспечивающую максимальный доход на основе заданных нормативов затрат продуктов на первые и вторые блюда, представленных в таблице:
| Ресурсы | Плановый фонд ресурсов | Нормативные затраты на 100 блюд | ||||
| 1-е блюда | 2-е блюда мясные | 2-е блюда рыбные | 2-е блюда молочные | 2-е блюда прочие | ||
| Мясо, кг | 4,0 | 8,0 | - | - | 3,8 | |
| Рыба, кг | 2,5 | - | - | - | ||
| Овощи, кг | 3,2 | 2,0 | 3,0 | - | 4,6 | |
| Мука, крупа, макаронные изделия, кг | 2,1 | 2,6 | 2,3 | 3,2 | 2,8 | |
| Молоко, л | 6,5 | - | - | - | ||
| Доход, руб. | 1,3 | 2,0 | 1,5 | 0,3 | 1,7 |
Домашнее задание:
1. Построить экономико-математическую модель для определения оптимального плана объемов перевозок из трех складов в четыре магазина, если А1=150, А2=200, А3=180, В1=120, В2=100, В3=110, В4=200. Стоимость перевозок представлена в виде матрицы 
.
2. Постройте на плоскости X1OX2 область решений системы линейных неравенств и найдите максимальное и минимальное значения линейной функции в этой области:
, 
3. Туристическая фирма в летний период обслуживает в среднем 7500 туристов и располагает флотилией из двух типов судов, характеристики которых представлены в таблице:
| Показатели | Судно | |
| I | II | |
| Пассажировместимость, чел. | ||
| Горючее, т | ||
| Экипаж, чел. |
В месяц выделяется 60000 т горючего. Потребность в рабочей силе не превышает 700 человек.
Определите количество судов I и II типа, чтобы обеспечить максимальный доход, который составляет от эксплуатации судов I типа 20 млн. руб., II – 10 млн. руб. в месяц.
4. Конкуренция приводит к необходимости торговым предприятиям заниматься еще и выпуском продукции собственного производства, например, пиццы. Нормы затрат на производство пиццы разных видов, объемы ресурсов и стоимость приведены в таблице:
| Продукты | Нормы затрат на изготовление 100 шт. пиццы, кг | Запасы продуктов, кг | ||
| ассорти | грибная | салями | ||
| Грибы | ||||
| Колбаса | ||||
| Тесто | ||||
| Цена за 100 шт., тыс. руб. |
Определите структуру выпуска пиццы разных видов для получения максимального дохода предприятия.
5. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету для похудения и употреблять питательных веществ, содержащихся в продуктах, в количестве, указанном в таблице:
| Вещества | Содержание питательных веществ в 1 кг фруктов и ягод, г | Нормы потребления, г | ||
| Мясо | Рыба | Овощи | ||
| Белки | ||||
| Жиры | ||||
| Углеводы | ||||
| Цена за 1 кг, руб. | 220,0 | 100,0 | 35,0 |
Определить оптимальный план употребления продуктов с минимальными затратами.