Понятие предела функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г.В. ПЛЕХАНОВА

ИВАНОВСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра Математики, экономической информатики

и вычислительной техники

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Методические указания

для самостоятельной работы

студентов 1 курса заочной формы обучения

Составитель В.А.Тимохина

Методические указания по дисциплине «Математический анализ» содержат конспект лекций, решенные задачи и набор задач для самостоятельной работы студентов заочной формы обучения по основам математического анализа.

Содержание

ТЕМА 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.. 4

1.1. Понятие предела функции. 4

1.2. Основные свойства бесконечно малых: 5

1.3. Методы вычисления пределов. 6

1.4. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. 7

1.5. Задачи для самостоятельного решения. 9

ТЕМА 2. ПРОИЗВОДНАЯ.. 9

2.1. Определение производной функции одной переменной. 9

2.2. Основные правила дифференцирования. 10

2.3. Нахождение производных. 11

2.4. Задачи для самостоятельного решения. 12

ТЕМА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ.. 12

3.1. Возрастание и убывание функции. 12

3.2. Максимум и минимум функции. 13

3.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. 14

3.4. Асимптоты.. 14

3.5.Схема полного исследования функции. 15

3.6. Задачи для самостоятельного решения. 18

ТЕМА 4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.. 18

4.1. Понятие функции нескольких переменных. 18

4.2. Частные производные функции. 19

4.3. Частные производные высших порядков. 20

4.4. Нахождение экстремума функции. 21

4.5. Задачи для самостоятельного решения. 22

ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 22

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл. 22

5.2. Свойства неопределенного интеграла. 23

5.3. Методы интегрирования. 24

5.3.1.Метод замены переменной. 25

5.3.2. Метод интегрирования по частям.. 25

5.3.3. Интегрирование тригонометрических функций. 25

5.3.4. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби (метод неопределенных коэффициентов) 26

5.4. Задачи для самостоятельного решения. 27

ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 28

6.1. Понятие определенного интеграла. 28

6.2. Основные свойства определенного интеграла. 29

6.3. Правила вычисления определенного интеграла. 30

6.4. Задачи для самостоятельного решения. 30

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ... 32

ТЕМА 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Понятие предела функции

Определение.Функция, у которой областью определения является множество натуральных чисел называется последовательностью. .

Определение.Число называется пределом последовательности , если для всякого сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число N, что при n<N. В этом случае говорят, что есть предел последовательности и записывают

lim при Геометрически это означает, что если для любой наперед заданной как угодно малой окрестности с центром в точке и радиусом , найдется такое значение x, что все точки, соответствующие последующим значениям переменной, будут находится в этой окрестности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого сколь угодно малого , найдется такое , что при Это записывается так:

Число f(a-0)= называют левым пределом функции (х принимает только значение меньше а).

Число f(a+0)= называют правым пределом функции (х принимает только значение больше а).

Для существования предела функции f(x) при необходимо и достаточно, чтобы

Переменная называется бесконечно малой, если она при изменении по абсолютному значению становится и при дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительно числа

Переменная x называется бесконечно большой, если она при своем изменении по абсолютному значению становится и при дальнейшем изменении остается больше любого наперед заданного положительного числа N, как бы велико оно ни было:

Предел бесконечно малой величины равен нулю (если бесконечно малая, то lim =0).

Разность между переменной и ее пределом есть величина бесконечно малая (если lim x=a, то x-a=

Величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая ( если бесконечно малая, то бесконечно большая, т.е. если

Величина обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая (если xбесконечно большая, то 1/x бесконечно малая, т.е. если

1.2. Основные свойства бесконечно малых:

1. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых слагаемых есть величина бесконечно малая.

2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:

Если существуют и то

1. Предел алгебраической суммы определенного числа переменных равен сумме пределов этих переменных

2.Предел произведения равен произведению пределов этих переменных.

3.Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля.

(при )

4.Предел постоянной равен самой постоянной.

5.Постоянный множитель можно выносить за знак предела