Метод половинного деления

Среди численных методов решения уравнения (2.1) наиболее простым в реализации является метод половинного деления. Он позволяет отыскивать корень уравнения (2.1) с любой заданной точностью Метод половинного деления - student2.ru и применим в том случае, если Метод половинного деления - student2.ru – непрерывна на Метод половинного деления - student2.ru и Метод половинного деления - student2.ru . Суть метода состоит в следующем.

Разбиваем Метод половинного деления - student2.ru пополам; среди двух получившихся отрезков выбираем тот, на концах которого Метод половинного деления - student2.ru принимает значения разных знаков. Получаем новый отрезок Метод половинного деления - student2.ru , внутри которого находится точный корень уравнения. Данный процесс деления и выбора нового более узкого отрезка продолжаем до тех пор, пока на n-ом шаге длина полученного отрезка Метод половинного деления - student2.ru не станет меньше Метод половинного деления - student2.ru . Тогда приближенный корень уравнения может быть найден по формуле

Метод половинного деления - student2.ru (2.3)

При этом абсолютная погрешность найденного корня не превышает Метод половинного деления - student2.ru , т. е. Метод половинного деления - student2.ru . Может случиться, что на некотором шаге значение Метод половинного деления - student2.ru в середине отрезка равно нулю. Тогда середина отрезка – точный корень уравнения (3.1).

Метод Ньютона

Пусть корень уравнения (2.1) отделен на начальном отрезке Метод половинного деления - student2.ru , причем Метод половинного деления - student2.ru и Метод половинного деления - student2.ru и Метод половинного деления - student2.ru отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке. Ограничения на производные геометрически означают, что кривая Метод половинного деления - student2.ru не только идет в одном направлении, – все время вверх Метод половинного деления - student2.ru или все время вниз Метод половинного деления - student2.ru , но к тому же строго выпукла вниз Метод половинного деления - student2.ru или вверх Метод половинного деления - student2.ru .

Геометрический смысл метода Ньютона или иначе – метода касательных состоит в том, что к графику функции Метод половинного деления - student2.ru проводится касательная в некоторой точке с абсциссой Метод половинного деления - student2.ru , и вместо точки пересечения графика Метод половинного деления - student2.ru с осью Ox ищется точка пересечения этой касательной с осью Ox (рис. 2.3).

Метод половинного деления - student2.ru

Рис. 2.3. Геометрическая иллюстрация метода Ньютона

В качестве начальной точки Метод половинного деления - student2.ru выбирается тот из концов отрезка Метод половинного деления - student2.ru , в котором функция Метод половинного деления - student2.ru и ее вторая производная имеют один и тот же знак

Метод половинного деления - student2.ru (2.4)

Затем строят касательную к графику Метод половинного деления - student2.ru в точке с абсциссой Метод половинного деления - student2.ru , находят абсциссу Метод половинного деления - student2.ru точки пересечения касательной с осью Ox. Снова строят касательную к графику Метод половинного деления - student2.ru уже в точке Метод половинного деления - student2.ru и находят абсциссу Метод половинного деления - student2.ru точки пересечения новой касательной с осью Ox. Продолжая этот процесс, получают числовую последовательность

Метод половинного деления - student2.ru (2.5)

Можно доказать [2], что при выполнении перечисленных в начале этого параг-рафа условий, последовательность (2.5) сходится к корню Метод половинного деления - student2.ru уравнения (2.1).

Получим расчетную формулу для метода Ньютона. Пусть Метод половинного деления - student2.ru и Метод половинного деления - student2.ru – предыдущее и последующее приближения корня. Запишем уравнение касательной к графику функции в точке Метод половинного деления - student2.ru : Метод половинного деления - student2.ru . В уравнении положим Метод половинного деления - student2.ru , тогда Метод половинного деления - student2.ru (так как это точка пересечения касательной с осью Ox). Значит Метод половинного деления - student2.ru . Разрешая это уравнение относительно Метод половинного деления - student2.ru , находим

Метод половинного деления - student2.ru (2.6)

Полученная рекуррентная формула (2.6) определяет сходящуюся к Метод половинного деления - student2.ru числовую последовательность. Погрешность приближенного к Метод половинного деления - student2.ru значения Метод половинного деления - student2.ru определяется из неравенства, установленного в работах [2], [3]:

Метод половинного деления - student2.ru (2.7)

где Метод половинного деления - student2.ru

Метод хорд

Пусть корень уравнения (2.1) отделен на начальном отрезке Метод половинного деления - student2.ru , причем Метод половинного деления - student2.ru и существуют и знакопостоянны Метод половинного деления - student2.ru и Метод половинного деления - student2.ru для всех Метод половинного деления - student2.ru . Геометрический смысл метода хорд состоит в том, что к графику функции Метод половинного деления - student2.ru на отрезке, внутри которого находится корень, проводится стягивающая его хорда и вместо точки пересечения графика Метод половинного деления - student2.ru с осью Ox ищется уже точка пересечения этой хорды с осью Ox. В качестве начального приближения Метод половинного деления - student2.ru к корню Метод половинного деления - student2.ru выбирается тот из концов отрезка Метод половинного деления - student2.ru , в котором функция Метод половинного деления - student2.ru и ее вторая производная имеют противоположные знаки, т. е.

Метод половинного деления - student2.ru (2.8)

При этом противоположный конец отрезка Метод половинного деления - student2.ru будет неподвижен. Этот неподвижный конец отрезка обозначим через C (рис. 2.4). Строя последовательно указанным выше способом хорды и находя их точки пересечения с осью Ox, получаем последовательность приближений искомого корня

Метод половинного деления - student2.ru ,

которая при выполнении отмеченных в начале параграфа условий, будет сходиться к корню уравнения (2.1).

Метод половинного деления - student2.ru

Рис. 2.4. Геометрическая иллюстрация метода хорд

Получим расчетную формулу для метода хорд. Пусть Метод половинного деления - student2.ru и Метод половинного деления - student2.ru – предыдущее и последующее приближения корня, C – неподвижная точка. Запишем уравнение прямой (хорды), проходящей через две точки с координатами Метод половинного деления - student2.ru и Метод половинного деления - student2.ru . Получим

Метод половинного деления - student2.ru .

В уравнении положим Метод половинного деления - student2.ru , тогда Метод половинного деления - student2.ru и уравнение примет вид

Метод половинного деления - student2.ru .

Разрешая это уравнение относительно Метод половинного деления - student2.ru , получим рекуррентную формулу для последовательности приближений корня уравнения (2.1)

Метод половинного деления - student2.ru (2.9)

При этом погрешность приближения на n-ом шаге определяется следующим неравенством [2], [3]:

Метод половинного деления - student2.ru (2.10)

где Метод половинного деления - student2.ru

Комбинированный метод

Пусть корень уравнения (2.1) отделен на начальном отрезке Метод половинного деления - student2.ru , причем Метод половинного деления - student2.ru и Метод половинного деления - student2.ru и Метод половинного деления - student2.ru отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке. Сравнивая условия выбора начального приближения Метод половинного деления - student2.ru в методах Ньютона и хорд, несложно заметить, что для одного и того же уравнения в качестве начальных приближений выбираются разные концы отрезка Метод половинного деления - student2.ru . Учитывая это обстоятельство, можно одновременно приближать к Метод половинного деления - student2.ru оба конца начального отрезка. При этом один конец отрезка будет уточняться методом Ньютона, а другой – методом хорд. Такой метод решения уравнения называется комбинированным. Геометрическая иллюстрация этого метода дана на рис. 2.5.

Метод половинного деления - student2.ru

Рис. 2.5. Геометрическая иллюстрация комбинированного метода

Формулы, реализующие комбинированный метод решения уравнения (2.1), вытекают из формул (2.6) и (2.9).

Если выполняется условие Метод половинного деления - student2.ru , то уточнение отрезка Метод половинного деления - student2.ru ведется по формулам:

Метод половинного деления - student2.ru (2.11)

Если же выполняется условие Метод половинного деления - student2.ru , то уточнение отрезка Метод половинного деления - student2.ru ведется по формулам:

Метод половинного деления - student2.ru (2.12)

Процесс вычисления по формулам (2.12) и (2.13) продолжается до тех пор, пока на некотором шаге n не будет выполняться неравенство

Метод половинного деления - student2.ru . (2.13)

Тогда в качестве приближенного значения корня берется величина Метод половинного деления - student2.ru

Наши рекомендации