Высшего профессионального образования

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Ярославская государственная сельскохозяйственная академия»

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Ярославль

УДК 515/518

Корякина А.П., Передбогов А.П., Шегелев Ю.П. Начертательная геометрия: Конспект лекций / РАТИ – Рыбинск, 1993 – 119 с.

Настоящий конспект содержит лекции, включаемые в учебную дисциплину «Начертательная геометрия. Инженерная графика». Предназначен для студентов технических вузов и слушателей ФПК ИТР промышленных предприятий, а также может быть использован студентами не машиностроительных специальностей при изучении курса «Начертательная геометрия».

Конспект лекций содержит десять разделов, в которых раскрываются основы начертательной геометрии. Некоторые разделы содержат также элементы вычислительной геометрии, которые дают возможность рассматривать математические модели объектов, изучаемых в курсе, и применять их при составлении алгоритмов для решения задач на ЭВМ.

Лекционный курс подготовлен на кафедре «Начертательная геометрия и графика» Рыбинского авиационного технологического института.

Рецензенты: кафедра начертательной геометрии и графики

Ярославского политехнического института;

Кандидат технических наук Кирсанов В.Н.

ISBN 5-230-14262-6 Рыбинский авиационный

Технологический институт,

Оглавление

Предмет начертательной геометрии………………………………………………………………….2

1. Метод проецирования……………………………………………………………………….....3

1.1 Центральное проецирование………………………………………………………………3

1.2 Параллельное проецирование…………………………………………………………......3

1.3 Способы дополнения проекционного чертежа…………………………………………..5

1.4 Порядок построения комплексного чертежа…………………………………………….6

1.5 Проекции прямоугольных осей координат на комплексном чертеже…………………7

1.6 Метод замены плоскостей проекций……………………………………………………..8

2. Комплексный чертеж прямой и плоскости и их аналитические модели…………………..9

2.1 Комплексный чертеж прямой……………………………………………………………..9

2.2 Аналитическая модель прямой……………………………………………………….....11

2.3 Взаимное расположение линейных геометрических элементов……………………...11

2.4 Комплексный чертеж плоскости………………………………………………………...13

2.5 Взаимное положение точки, прямой и плоскости……………………………………...15

2.6 Кривые линии и их проекции………………………………………………………...….17

2.7 Линии второго порядка………………………………………………………………......18

2.8 Пространственные кривые……………………………………………………………….21

3. Поверхности………………………………………………………………………………......21

3.1 Образование, задание и изображение поверхностей……………………………….…..21

3.2 Поверхности плоско – параллельного перемещения…………………………………..23

3.3 Поверхности вращения………………………………………………………………......23

3.4 Уравнение поверхности вращения………………………………………………………24

3.5 Линейчатые поверхности………………………………………………………………...27

3.6 Уравнение линейчатой поверхности………………………………………………….…30

3.7 Поверхности второго порядка…………………………………………………………...31

3.8 Циклические поверхности………………………………………………………………..33

3.9 Пример составления уравнения циклической поверхности……………………….…..33

3.10 Графические поверхности……………………………………………………………33

4. Взаимное положение поверхностей…………………………………………………………34

4.1 Метод вспомогательных секущих плоскостей……………………………………….…35

4.2 Метод вспомогательных секущих сфер…………………………………………………37

4.3 Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка………………………….39

5. Метод вращения………………………………………………………………………………41

6. Пересечение линии и поверхности…………………………………………………………..42

7. Математическая модель линии пересечения поверхностей второго порядка……………45

8. Метрические задачи…………………………………………………………………………..47

8.1 Условия перпендикулярности на комплексном чертеже………………………………47

8.2 Способы решения некоторых метрических задач……………………………………...50

8.3 Нормаль поверхности…………………………………………………………………….55

9. Развертки поверхностей……………………………………………………………………...57

9.1 Построение разверток многогранных поверхностей…………………………………..57

9.2 Построение приближенных разверток развертывающихся поверхностей…………..60

9.3 Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей………………63

10. Аксонометрические поверхности…………………………………………………………...67

10.1 Коэффициенты искажения………………………………………………………...…67

10.2 Основная теорема аксонометрии…………………………………………………….67

10.3 Основные виды аксонометрических поверхностей………………………………..67

Предмет начертательной геометрии

В инженерной практике, исследовательской работе, в процессе передачи информации и во множестве других случаев человек использует различные модели. Модель никогда не повторяет объект или явление полностью и несет о них только основную информацию. Например: чертеж механизма передает информацию о размерах, форме, взаимодействии составных частей и т.д.; конспект лекций передает только содержание лекции, при этом не воспроизводя голос преподавателя, его жестикуляцию и т.д.; рисунок несет информацию о форме и цвете изображенного объекта и т.д.

Посредствам моделей информацию не только передают, но и перерабатывают: математик преобразовывает формулы, конструктор с помощью чертежа может усовершенствовать механизм, композитор пользуясь нотной записью, обрабатывает музыку. Таких примеров можно приводить очень много.

В наше время особое место занимают математические модели, которые делятся на два класса: аналитические и геометрические. К геометрическим моделям относятся: чертеж, рисунок, фотоснимок, рентгенограмма, номограмма и др. Номограмма это чертеж, который служит для облегчения и ускорения математических вычислений при технических расчетах. Наряду с понятием «номограмма» используется более точный термин – расчетно – геометрическая модель. Логарифмическая линейка, например, позволяет быстро производить умножение, деление и другие арифметические действия. Одной из простейших номограмм из выровненных точек является номограмма сложения. Работает она следующим образом: прикладываем линейку к точкам, соответствующим данным значениям, на шкалах а и b (рисунок 0.1). На шкале С в точке пересечения шкалы линейки читаем ответ.

Рисунок 0.1

Расчетно – геометрические модели имеют широкое применение в инженерной практике. Конструировать их можно аналитически и геометрически.

Начертательная геометрия изучает модель для передачи и переработки геометрической информации.

Модели бывают однозначные (изоморфные) многозначные (гомоморфные).Примером однозначной модели студенческой группы является список фамилий, если в группе нет однофамильцев. Список группы чаще всего модель многозначная, так как одно и тоже имя может принадлежать нескольким студентам. Гомоморфные модели тоже несут информацию (иногда очень существенную) о изучаемом объекте.

Знакомство с начертательной геометрией начинают с построения гомоморфных геометрических моделей, после чего рассматривают способы позволяющие переходить к кэоморфным моделям.

Основным методом начертательной геометрии является способпроецирования. Определить проецирование, значит указать алгоритм, посредствам которого точки одного пространства сопоставляются точками другого пространства. Условимся обозначать одномерное пространство (линия) R¹, двумерное пространство (поверхность) R², трехмерное пространство R³, …….., n-мерное пространство Rⁿ. В дальнейшем будем рассматривать проецирование трехмерных геометрических образов не плоскость.

1. Метод проецирования

1.1 Центральное проецирование

Посредством центрального проецирования осуществляется моделирование трехмерных геометрических образов на плоскость. Аппарат проецирования: плоскость проекции и центр проецирования (рисунок 1.1)

Рисунок 1.1

Проецирование рассмотренное на рисунок 1.1 называется линейным, так как проецирующие образы – прямые (плоскости). В качестве проецирующих линий в некоторых случаях выбирают кривые линии. В этом случае проецирование называется нелинейным.

Предположим, что требуется спроецировать центральную прямую АВ. Нетрудно отметить, что все проецирующие прямые принадлежат плоскости SАВ (проецирующая плоскость). Эта плоскость пересекает плоскость проекции П по прямой А₁В₁. Следовательно, проекцией прямой линии в общем случае является прямая линия. В частном случае, прямая проецируется в точку, если она проходит через центр проецирования.

Заметим, что построенная таким образом на плоскости П модель пространства является гомоморфной (многозначной). Действительно, попытаемся по данной проекции С₁ определить точку С в пространстве. Оказывается таких точек бесконечное множество, это все точки прямой S₁C₁. Но и эта модель несет некоторую информацию. Например, проекция точки определяет проецирующую прямую, которой принадлежит данная точка.

1.2 Параллельное проецирование

Если центр проецирования бесконечно удаленная точка, то проецирующие прямые параллельны между собой и проецирование называется параллельным. Чтобы задать параллельное проецирование, необходимо задать плоскость проецирования П и направление проецирования s. Направление проецирования не должно быть параллельно плоскости проекции (рисунок 1.2) Если s перпендикулярно П, то проецирование называется ортогональным (рисунок 1.3).

Рисунок 1.2 Рисунок 1.3

Таблица 1.1 - Основные свойства проецирования

Центральное проецирование	Параллельное проецирование	Ортогональное проецирование
1. Проекцией точки является точка. 2. Проекцией прямой линии является прямая линия. 3. Проекцией точки, принадлежащей некоторой прямой, является точка принадлежащая проекции данной прямой.
	4. Если прямые параллельны, то при параллельном проецировании их проекции параллельны или совпадают, или обе прямые проецируются в точки. 5. Отношение проекций отрезков, принадлежащих параллельным прямым или одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков. 6. Проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.
		7. /А1В1/ = /АВ/ cosa, где а – угол наклона АВ к плоскости проекций.

При проецировании трехмерных объектов на плоскость, т.е. при переходе от R³ к R², получается гомоморфная модель объекта. Значит, рассматриваемые нами методы проецирования позволяют однозначно решить прямую задачу: по данному трехмерному объекту строить его проекцию на плоскость. Однако, обратная задача – по данной проекции воспроизвести (реконструировать) оригинал – однозначно не решается. Эта задача допускает бесконечное множество решений, т.к. каждую точку В₁ плоскости П (рисунок 1.4) можно считать проекцией любой точки проецирующей прямой, проходящей через В_1. Чтобы добиться однозначности, следует дополнить проекционный чертеж, сделать его «обратимым», т.е. чертежом вполне определяющим данный геометрический объект. Существует много способов в дополнения проекционного чертежа. Остановимся на некоторых из них.

Рисунок 1.4

1.3 Способы дополнения проекционного чертежа

Проекции с числовыми (высотными) отметками (рисунок 1.5). Число, стоящее в скобках рядом с обозначением проекции точки, задает расстояние от данной точки до плоскости проекций. Если число положительное, значит точка находится перед плоскостью проекций, если отрицательное, то точка за плоскостью проекций.

Рисунок 1.5

Векторные чертежи (способ Е.С. Федорова) (рисунок 1.6.). Расстояние от точки до плоскости проекций задается посредством отрезков на плоскости проекций, начало отрезка совпадает с проекцией данной точки. Такие отрезки называются высотными. Они параллельны между собой. По направлению отрезка можно судить о том, где находится данная точка, перед плоскостью или за ней. Например, точка А – перед плоскостью проекций, В – за плоскостью проекций.

Рисунок 1.6

Аксонометрические проекции (рисунок 1.7). Для получения аксонометрической проекции необходимо выполнить следующие действия:

1. Связать изображаемый объект с прямоугольной декартовой системой координат. Тогда для каждой точки можно построить координатную ломаную линию.

2. Спроецировать параллельно объект вместе с координатными осями на плоскость проекций, которая называется аксонометрической. Проекции осей координат называются аксонометрическими осями. Проекции масштабных отрезков называются аксонометрическими масштабами. Проекции координатной ломанной линии называется аксонометрической координатной ломаной.

X^’, Y^’, Z^’ – аксонометрические оси.

О^’А^’_x А^’₁ А^’ – аксонометрическая координатная ломаная линия.

А^’ – аксонометрическая проекция точки А.

А^’₁ – вторичная проекция точки А, или аксонометрическое изображение проекции данной точки на плоскость xОy.

Рисунок 1.7

Однозначность аксонометрической проекции достигается с помощью задания аксонометрической ломанной линии или вторичной проекции изображенного объекта.

Комплексный чертеж

Этот способ получил наибольшее применение в технической практике. Однозначность модели достигается посредством использования двух связанных проекций геометрического объекта. Существует много способов образования комплексного чертежа. Познакомимся с одним из них.

1.4 Порядок построения комплексного чертежа

Для построения комплексного чертежа необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать две взаимно перпендикулярные плоскости П₁ и П₂ (рисунок 1.8).

П₁ – горизонтальная плоскость проекций;

П₂ – фронтальная плоскость проекций;

П₁П П₂ = X₁₂, где X₁₂ – ось проекций.

Рисунок 1.8

2. Геометрический объект, например точка А, проецируется ортогонально на каждую плоскостей проекций.

А₁ – горизонтальная проекция точки А;

А₂ – фронтальная проекция точки А;

АА_{1 ┴} П₁, следовательно, А₂А_{x ┴} X₁₂,

А А_{2 ┴} П₂, следовательно, , А₁А_{x ┴} X₁₂,

/ А₂ А_x/ = /АА₁/ - высота точки, / А₁ А_x/ = /АА₂/ - глубина точки.

3. Плоскости проекций совмещают с плоскостью чертежа (рисунок 1.9).

Рисунок 1.9

Полученный чертеж является обратным. Действительно, если фронтальной проекции А₁ поставить перпендикуляр к плоскости чертежа и от точки А₂ отложить на этом перпендикуляре, отрезок равный глубине точки, то однозначно определиться положение точки А. Т.о. изоморфной моделью точки пространства R³ является пара связанных точек плоскости.

1.5 Проекции прямоугольных осей координат на комплексном чертеже

В начертательной геометрии чаще пользуются правой прямоугольной системой координат (рисунок 1.10). Относительно плоскостей проекций оси координат целесообразно располагать следующим образом: О_x║П_1, О_z║П₂, О_x║П₂ и О_y║П₁ (рисунок 1.11). В частном случае, если нет необходимости на чертеже рассматривать точки с отрицательным значением координат y и z, проекции О₁X₁ и О₂X₂ могут совпадать.

Рисунок 1.10

Рисунок 1.11

Рисунок 1.12

На рисунок 1.12 дан комплексный чертеж точек А (-3, 4, -1); В (4, -2, 3); С (6, -1, -1).

В предыдущих примерах в качестве геометрического объекта рассматривались отдельные точки. Заметим, что для одной точки выбор плоскостей проекций не имеет значения, но для решения задач, в условия которых включены прямые, плоскости и др. объекты, выбор той или другой плоскости проекций может упростить или усложнить решение задачи. Например, в некоторых случаях задача упрощается, если плоскость проекций выбирать параллельно, или перпендикулярно данным геометрическим объектам. Переход от данной системы плоскостей проекций к новой можно осуществлять с помощью методов преобразования комплексного чертежа, самым распространенным на которых является метод замены плоскостей проекций.

1.6 Метод замены плоскостей проекций

Метод замены плоскостей проекций состоит в переходе от данной системы плоскостей (старая система) к новой системе взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Положение самого объекта в пространстве остается неизменным.

Иногда для решения задач достаточно заменить только одну из данных плоскостей проекций, например, плоскость П₂ на плоскость П₄, П_{4 ┴} П₁.

Рисунок 1.13

Или плоскость П₁ на плоскость П₅, П_{5 ┴} П₂, (рисунок 1.13). Этот метод применяется так же для построения дополнительной проекции, если необходимо на чертеже полнее изобразить геометрический объект.

Рассмотрим подробнее метод на примере построения дополнительной проекции точки (рисунок 1.14 и рисунок 1.15). Заметим, что применяя метод замены плоскостей проекций, следует фиксировать ось проекций на комплексном чертеже.

Рисунок 1.14 Рисунок 1.15

А – точка в пространстве. А₁ и А₂ соответственно горизонтальная и фронтальная проекция точки А. А₄ – проекция точки А на плоскость П₄, т.е. дополнительная проекция точки А. K и L точки на проекционных осях.

Из чертежа видно, что А₂КА₁А и А А₁LА – прямоугольники следовательно, /А₂К/ = /АА₁/ = /А₄L/. Проецирование ортогональное, значит прямые А₁L, А₄L, и X₁₄ взаимно перпендикулярны. Пользуясь этими свойствами, легко построить дополнительную проекцию на комплексном чертеже (см. рисунок 1.15).

При построении дополнительной проекции точки целесообразно пользоваться следующим алгоритмом:

1. Выбирается дополнительная плоскость проекций П₄. П₄ перпендикулярна одной из данных плоскостей проекций, на нашем чертеже П_{4 ┴} П₁. П₄П П₁ – X₁₄, прямую X₁₄ назовем новой осью проекций.

2. Через проекцию точки А₁ следует провести новую линию проекционной связи m, m _┴ X₁₄.

3. На этой линии от точки L следует отложить отрезок LA₄, / LA₄/ = /А₂К/. А₁ – дополнительная проекция точки А.

Особого внимания заслуживает случай, когда дополнительная проекция перпендикулярна к плоскостям П₁ и П₂ (рисунок 1.16).

Рисунок 1.16 Рисунок 1.17

В черчении изображение на плоскости П₃ относится к основным видам. Плоскость П₃ называется профильной плоскостью проекций. А₃ – профильная проекция точки А. Чтобы построить А₃ по данным А₁ и А₂ следует выполнить такие действия:

1. Провести линию проекционной связи А₂L, А₂L _┴ Z₂₃ (рисунок 1.17)

2. Отложить на этой линии от оси Z₂₃ отрезок LА₃, / LА₃/ = / КА₁/.

Для решения более сложных задач метод замены плоскостей проекций можно применять неоднократно. Этот метод наряду с другими методами геометрического моделирования применяется во многих областях науки и техники. С помощью метода замены плоскостей проекций можно решать почти 90% задач нашего курса. Иногда мы пользуемся этим методом неосознанно, выделяя частные случаи на более общих в той или иной теории.

2. Комплексный чертеж прямой и плоскости и их аналитические модели

2.1 Комплексный чертеж прямой

На комплексном чертеже прямая может быть задана проекциями двух ее точек (рисунок 2.1) или проекциями отрезка (рисунок 2.2).

Рисунок 2.1 Рисунок 2.2

Прямые не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций, называются прямыми общего положения. Прямые общего положения бывают восходящими или нисходящими.

Восходящая прямая по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх. Например, прямая L (см. рисунок 2.2).

Рисунок 2.3

Рисунок 2.4

Рисунок 2.5

Нисходящая прямая по мере удаления от наблюдателя понижается. Например, прямая АВ (см. рисунок 2.1).

Если прямая параллельна или перпендикулярна одной из плоскостей проекций, то она называется прямой частного положения.

Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, называются прямыми уровня (рисунок 2.3).

h₁ ║ x₁₂, следовательно, высоты всех точек этой прямой равны между собой и h ║ П₁. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью.

Отрезок горизонтальной прямой на плоскость П₁ проецируется в натуральную величину. А – угол наклона h к плоскости П₂. f₁ ║ x₁₂, следовательно, глубины всех точек этой прямой равны между собой и f ║ П₂. Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью. Отрезок фронтальной прямой на плоскость П₂ проецируется в натуральную величину. Β – угол наклона f к плоскости П₁ (рисунок 2.4). Прямые АВ и СD на рисунок2.5 параллельны плоскости П₃ и называются профильными прямыми.

Прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций, называются проецирующими прямыми (рисунок 2.6).

АВ _┴ П₁, следовательно, на плоскость П₁ АВ проецируется в точку. Прямая АВ называется горизонтально проецирующей. CD _┴ П₂, следовательно, на фронтальную плоскость проекций CD проецируется в точку. Прямая CD называется фронтально проецирующей.

2.2 Аналитическая модель прямой

Известно, что плоскости прямая может быть задана линейным (первой степени) уравнением с двумя неизвестными. В общем случае это уравнение имеет вид: ax + by + c =0, где x, у – независимые переменные, a, b, с – коэффициенты. Разделив обе части на С, получим уравнение x + у +1 = 0 или а₁x + b₁y + 1 = 0. Линейное уравнение можно задать так же в следующем виде:

+ = 1 или y = kx +m.

На комплексном чертеже пространственная прямая задается двумя проекциями, следовательно, для получения аналитической модели пространственной прямой достаточно задать уравнение ее проекций. Например, прямая L описывается системой из двух линейных уравнений (рисунок 2.7):

+ = 1;

Прямая h на рисунок 2.3 может быть задана системой уравнений:

z = 0. y = x tg + b.

Прямая CD на рисунок 2.6 – системой: x = а, z = c.

Рисунок 2.6

2.3 Взаимное расположение линейных геометрических элементов

Рисунок 2.7

Линейными геометрическими элементами называются: точка – R⁰, прямая R¹, плоскость – R², трехмерное пространство – R³ и т.д. Взаимное расположение точек рассмотрим на следующем примере. Точки А и В расположены на одном перпендикуляре к горизонтальной плоскости проекций, их горизонтальные проекции совпадают (рисунок 2.3). Такие точки называются горизонтально конкурирующими. По чертежу видно, что точка В выше точки А и на горизонтальной проекции точка А – невидимая. Точка М и N расположены на одном перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций, поэтому фронтальные проекции этих точек совпадают. Такие точки называются фронтально конкурирующими. Из чертежа видно, что N ближе М, т.е. точка М на фронтальной проекции – невидимая. Про точки К и L можно сказать, что L расположена ближе, выше и правее точки К.

Принадлежность точки и прямой (рисунок 2.9) определяются свойством проецирования 3 (Таблица 1.1).

Если прямая задана уравнениями, то значения координат точки, принадлежащей прямой, должны удовлетворять этим уравнениям. Например, точка А (3; 1; 0,75) принадлежит прямой: + = 1, + = 1, т.к. + = 1, + = 1.

Рисунок 2.9

Рисунок 2.10

Параллельность прямых на чертеже определяется свойством 5 параллельного проецирования (рисунок 2.10). Следует учитывать, что в некоторых частных случаях проекции не парралельных прямых могут быть параллельны, например, прямые АВ и CD на рисунок 2.5.

Рассмотрим проекции пересекающихся и скрещивающихся прямых (рисунок 2.11). Прямые а и b имеют общую точку М, следовательно, они пересекаются. Скрещивающиеся прямые с и d не имеют общих точек. Точки N и K, L и Н, принадлежащие этим прямым, являются конкурирующими.

Рисунок 2.11

2.4 Комплексный чертеж плоскости

Плоскость в пространстве может быть задана: тремя точками, прямой и точкой, двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимися прямыми и плоской фигурой. На комплексном чертеже плоскость задается проекциями перечисленных наборов геометрических элементов (рисунок 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16).

Рисунок 2.12 Рисунок 2.13

Рисунок 2.14 Рисунок 2.15

Рисунок 2.16

Если не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то она называется плоскостью общего положения. Плоскости общего положения бывают восходящими и нисходящими.

Если плоскость по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх, то она называется восходящей. Чтобы избежать недоразумений, удаление надо производить по профильной прямой, принадлежащей плоскости. На комплексном чертеже восходящей плоскости обе проекции треугольника, ей принадлежащего, ориентировано одинаково (рисунок 2.16), а для нисходящей – противоположно (рисунок 2.13).

Если плоскость параллельна или перпендикулярна одной плоскостей проекций, то она называется плоскостью частного положения. Различают следующие виды плоскостей частного положения:

1. Плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей плоскостью. Все точки и прямые такой плоскости на горизонтальную плоскость проекций проецируются в прямую, например, Z₁ (рисунок 2.17) – проекция плоскости , _┴ П₁; а,b ? . Фронтальная и профильная проекции ее занимают соответственно все поле проекций П₁ и все поле проекций П₃. Очевидно, что а и ᵞ - углы наклона плоскости , к фронтальной и профильной плоскостям соответственно.

Рисунок 2.17

2. Плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций, называется фронтально проецирующей плоскостью, ее фронтальная проекция является прямой, а горизонтальная и профильная проекции занимают соответственно все поле проекций П₁ и все поле проекций П₃ (рисунок 2.18). Фронтально проецирующая плоскость Т вполне определяется ее одной проекцией Т₂. Углы β и u измеряют углы наклона плоскости к плоскостям проекций П₁ и П₃ соответственно, А ? Т.

Рисунок 2.18

Рисунок 2.19

3. Плоскость, перпендикулярная к профильной плоскости проекций, называется профильно проецирующей плоскостью, ее профильная проекция является прямой, а горизонтальная и фронтальная проекции занимают соответственно все поле проекций П₁ и все поле проекций П₂ (рисунок 2.19). Профильно проецирующая плоскость О вполне определяется ее одной проекцией О₃. Углы а и β измеряют углы наклона плоскости О к плоскостям проекций П₁ и П₂ соответственно. n ? О, m ? О.

4. Плоскость, параллельную какой – нибудь плоскости проекций, называют плоскостью уровня, так как все точки этой плоскостью одинаково удалены от соответствующей плоскости проекций (рисунок 2.20).

Плоскость Г, параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонтальной плоскостью уровня, а, b ? Г.

Плоскость Ф, параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронтальной плоскостью уровня, А, l ?Ф.

Плоскость Р, параллельную профильной плоскости проекций называют профильной плоскостью уровня.

Рисунок 2.20

Очевидно, что каждая плоскость уровня является в то же время проецирующей плоскостью. Фигуры, принадлежащие горизонтальной плоскости Г, фронтальной плоскости Ф или профильной плоскости Р проецируется без искажения соответственно на плоскость проекций П₁, П₂ или П₃.

2.5 Взаимное положение точки, прямой и плоскости

Задачи на взаимное положение геометрических элементов называются позиционными.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой – либо прямой этой плоскости. Например, точка К ? G (А, В, С), т.к. К ? В1 и G1 ? О (А, В, С) (рисунок 2.21).

Рисунок 2.21

Очевидно, что N не принадлежит плоскости О, т.к. точка N не принадлежит ни одной из двух прямых АВ или АС. Про точку N можно сказать, что она расположена над плоскостью О, т.к. она расположена над прямой АС. Известно, что точка M ? О, а точка L расположена над точкой М, следовательно, точка L находится над плоскостью О.

Задача. Дана восходящая плоскость Э (а ║b), построить точку S над плоскостью, если известна ее горизонтальная проекция S₁ (рисунок 2.22).

Рисунок 2.22

Точка S₂ должна располагаться над вспомогательной прямой 12, принадлежащей плоскости О и следовательно, над точкой N ? 12. Очевидно, что задача имеет бесконечное множество решений.

Обратная задача. Определить положение точки М относительно плоскости R (А, В, С). М ближе R, т.к. М ближе А1 ? R (рисунок 2.23).

Рисунок 2.23

Задача. Построить проекции треугольной пирамиды, основание которой принадлежит данной плоскости Q, а вершина расположена над плоскостью. Определить видимость ребер пирамиды.

Эта задача состоит из трех элементарных задач.

1. Построить вершины А, В, С в плоскости Q. Точки А и В выберем на прямой m, а точку С на вспомогательной прямой В1 (рисунок 2.24).

2. Построить точку S над плоскостью Q. Выберем некоторую точку N, принадлежащую Q. На рисунок 2.25 эта точка принадлежит В2 ? Q. Точка S д.б. над точкой N.

Q (m ║ n) – нисходящая плоскость.

Рисунок 2.24 Рисунок 2.25

3. На рисунок 2.26 повторены эти действия и через полученные точки проведены ребра искомой пирамиды.

Контурные ребра на всех плоскостях проекций всегда видимые.

Рисунок 2.26

Для определения видимости ребер АС и SB на горизонтальной плоскости проекций следует воспользоваться горизонтально конкурирующими точками 5 и 6 на этих ребрах. По фронтальной проекции видно, что точка 5 выше точки 6, следовательно, на горизонтальной проекции видимыми являются точка 5 и ребро АС, которому она принадлежит. Аналогично определяется на фронтальной проекции видимость ребер АВ и SC посредством фронтально конкурирующих точек 3 и 4.

2.6 Кривые линии и их проекции

Понятие о линиях как и о других геометрических объектах приобретается из опыта. Кривую линию можно рассматривать как границу части поверхности, или как результат пересечения двух поверхностей, или как множество последовательных положений непреровно перемещающейся в пространстве точки.

Положение точки на линии может быть определено одним параметром, следовательно, линия является однопараметрическим множеством точек..

Назовем два способа классификации кривых линий:

1. Кривые бывают плоские, пространственные и многомерные.

2. Кривые могут быть закономерными и незакономерными.

Закономерные кривые могут быть заданы и аналитически и графически. Незакономерные задаются только графически.