Случайные величины и способы их описания
ТЕМА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
1. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Среди задач, решаемых ТВ, очень много таких, в которых исход опыта выражается некоторым числом.
Случайной величиной (СВ) называется величина, которая при каждом осуществлении опыта принимает то или иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно.
Обозначение: X, Y, Z,… - случайные величины. Возможные значения случайных величин: x, y, z,… Каждой случайной величине соответствует некоторое множество возможных значений.
Примеры: 1) Опыт - бросание игрального кубика. СВ - число выпавших очков на верхней грани. Возможные значения: 1,2,3,4,5,6.
2) Покупается n лотерейных билетов. СВ – число выигрышей. Возможные значения: 0,1,2,…,n
3) Электрическая лампочка испытывается на длительность горения. СВ – длительность горения лампочки. Возможные значения: любое неотрицательное число.
4) Некто приходит на станцию метро и ожидает поезда. СВ – время ожидания ближайшего поезда. Возможные значения: [0;2мин].
Из примеров видно, что СВ различаются по множеству возможных значений.
Случайная величина называется дискретной(ДСВ), если множество её возможных значений счетно (в частности конечно), то есть может быть занумеровано. Примеры 1, 2 – ДСВ.
Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если её возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (или несколько промежутков) числовой оси. Примеры 3, 4 – НСВ. Различные СВ могут иметь одно и то же множество возможных значений. Поэтому для полного описания СВ необходимо знать, как часто СВ принимает то или иное свое значение.
2. Законы распределения СВ.
Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения ДСВ.
Для ДСВ закон распределения можно задать таблично, аналитически и графически.
1) Табличный способ – это таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения СВ и соответствующие вероятности принятия этих значений.
| ||||||||||||||||
 ) |
Эта таблица называется ряд распределения ДСВ.
(так как события X= 
; X= 
; …; X= 
образуют полную группу)
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно (но счетно), то ряд 
сходится, и его сумма = 1.
Пример.
Опыт - бросание игрального кубика. СВ - число выпавших очков на верхней грани. Ряд распределения:
| хi | ||||||
 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
2) Аналитический способ – задаётся формула, по которой находится вероятность каждого возможного значения случайной величины.
Например, если опыт проводится по схеме Бернулли, то вероятности возможных значений могут быть найдены по формуле: 
3) Графический способ.
Закон распределения можно изобразить графически, если по оси абсцисс откладывать значения СВ, а по оси ординат – их вероятности. Соединив точки ( 
отрезками прямых, получим ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.
Закон распределения НСВ.
Под законом распределения НСВ понимают задание функции f(x), называемой плотностью распределения вероятности, такой, что вероятность попадания СВ в промежуток [a;b] равна P(a≤X≤b)= 
.
Свойства плотности вероятности:
1) f(x)≥0 (следует из аксиом вероятности);
2) 
(вероятность достоверного события);
3) P(X=a)= 
(для НСВ говорят о вероятности попасть в промежуток, вероятность попасть в точку принимают = 0) =>
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) (только для НСВ).
Таким образом, законы распределения вероятностей ДСВ и НСВ задаются разными способами: ряд распределения для ДСВ и плотность вероятности для НСВ. Введем единый способ задания распределения СВ любого типа.
3. Функция распределения случайных величин.
Функцией распределения F(x) случайной величины X называется функция неслучайного аргумента x, определённая на всей числовой оси и равная вероятности того, что случайная величина X примет значения, меньше некоторого числа х: F(x)=P(X<x)
Свойства функции распределения:
1) 0≤F(x)≤1 (как вероятность);
2) 
(вероятность достоверного события);
3) 
(вероятность невозможного события);
4) F(x) – неубывающая функция;
5) P(a≤X<b)=F(b)-F(a).
Функция распределения ДСВ.
Пусть X - ДСВ, закон распределения которой задан рядом распределения
| х1 | х2 | … | хi | … | хn |
 |  | … | | … |  |
Тогда, по определению функции распределения получим:
F(x)= 
Графиком такой функции является «ступенчатая линия», имеющая в точках 
разрыва первого рода с соответствующей величиной скачка .
Пример:
Пусть X - число попаданий в цель при двух выстрелах. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Составить ряд распределения, функцию распределения и построить её график.
| X | |||
| P | 0,09 | 0,42 | 0,49 |
P=0,7- вероятность попадания в цель при одном выстреле ; q=0,3- промах.
P(X=0)= 
P(X=1)=p∙q+q∙p=2pq=2∙0,7∙0,3=0,42
P(X=2)= 
0,09+0,42+0,49=1
Функция распределения НСВ.
Пусть X - НСВ, для которой задана плотность вероятности f(x).
По определению P(a≤X≤b)= 
, F(x)=P(X<x), тогда F(x)= 
.
Замечание: в каждой точке непрерывности f(x)=F’(x) .
Пример:
Непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятности
Найти F(x), построить графики f(x) и F(x).
F(x)= 
1) Если x<-1, то F(x)= 
.
2) Если -1<x≤1, то
F(x)= 
3) Если x>1, то
F(x)= 
x | 
.
Таким образом:
y=f(x) y=F(x)
4. Операции над СВ.
Введём математические операции над ДСВ. Для НСВ вводится аналогично.
Пусть X - ДСВ, принимающая возможные значения 
с вероятностями , то есть = 
. Пусть Y - ДСВ, принимающая возможные значения 
с вероятностями 
, то есть 
P(Y= 
.
Произведением ДСВ X и постоянной величины С, называется ДСВ С∙Х, которая принимает возможные значения C∙ 
с теми же вероятностями 
Суммой двух ДСВ X и Y называется ДСВ X+Y, которая принимает возможные значения 
с вероятностями 
).
Произведением двух ДСВ X и Y называется ДСВ X∙Y, которая принимает возможные значения 
с вероятностями 
.
Две СВ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина.
Для независимых СВ X и Y выполняется:
Пусть дана ДСВ Х и функция φ(x), определенная на всей вещественной оси, тогда функцией от ДСВ Х называется ДСВ Y= φ(Х), которая принимает возможные значения 
с вероятностями 
(где сумма по всем k таким, что значения φ( 
совпадают со значением 
).
Пример: пусть даны дискретные случайные величины
Х Y
| 0,4 | 0,6 |
| -1 | |
| 0,3 | 0,7 |
Тогда ДСВ 5X будет иметь ряд распределения:
| 0,4 | 0,6 |
X+Y будет иметь ряд распределения:
| -1 | |||
| 0,4∙0,3 | 0,4∙0,7 | 0,6∙0,3 | 0,6∙0,7 |
или X+Y:
| -1 | ||
| 0,12 | 0,46 | 0,42 |
X∙Y будет иметь ряд распределения:
| -2 | |||
| 0,4∙0,3 | 0,4∙0,7 | 0,6∙0,3 | 0,6∙0,7 |
или X∙Y:
| -2 | ||
| 0,18 | 0,4 | 0,42 |