Задача анализу разомкнутой системы с ожиданием (потоки требований Пуассоновськие)

Постановка задачи:

Пусть данная некоторая система массового обслуживания, для которой справедливые следующие гипотезы:

1) вероятность поступления требований не зависит от принятого начала отсчета времени, а зависит только от времени периода наблюдение (поток стационарный)

2) не поступают в систему и не оставляют ее одновременно 2 или больше требований (поток стационарный)

3) поступление одной требования не зависит от поступления другой (отсутствие последействия). Известные также интенсивность поступления потоков требований (среднее число обслуживание за единицу времени - ). Нужно определить основные характеристики системы, а именно:

- P – вероятность простоя канала обслуживания

- - вероятность того, что в системе находятся n-требований

- - среднее число требований, которые находятся в системе

- - среднее число требований, которые находятся в очереди

- - среднее время ожидания требований в системе.

Поток требований, который владеет качествами стационарности, ординарности и отсутствием последействия, называют простым. В нашей задаче поток требований простой. Основным понятием при анализе процесса системы массового обслуживания есть состояние системы. Зная состояние системы, можно предусмотреть в вероятносном смысле ее поведение. Простой поток – это стационарный Пуассоновський поток. Если все потоки событий, которые переводят систему из одного состояния к другому являются Пуассоновськими, то для этих системы вероятность состояния описывается с помощью систем обычных дифференционных уравнений. В большинства задач не прикладного характера замена непуассоновського потока событий Пуассоновським с теми же интенсивностями приводит к получению решения, которое мало отличаются от истинного, а иногда и совсем не отличается. В качестве критерия отличия реального стационарного потока от Пуассоновського можно рассматривать близость математического ожидания числа дисперсий событий, которые поступают на определенном участке времени в реальном потоке.

Существует определенный математический прием, который значительно облегчает вывод дифференционного уравнения для вероятностного состояния. Сначала строится размеченный граф состояний с указанием возможных переходов. Это облегчает исследование и делает его более наглядным. Граф состояний, на котором проставленные не только стрелки переходов, но и интенсивность соответствующих потоков событий называют размеченным.

Зачертим размеченный граф состояний одноканальной разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием:

S0

Sn+1

Sn

Sn-1

S1

........

.........

Если составленный размеченный граф состояний, то для построения математической модели, то есть для составления системы обычных дифференционных уравнений рекомендуется использовать следующие правила:

производная вероятности пребывания системе в состоянии n равняется алгебраической сумме следующих величин: число величин этой суммы равняется числу стрелок на графе состояний системы, которая соединяет состояние n с другими состояниями. Если стрелка направленная в состояние n, то соответствующая величина берется с знаком “+” . Если стрелка направленная из состояния n – то с знаком “-“. Каждая величина суммы равняется произведению вероятностей того состояния, из которого направленная стрелка на интенсивность потока событий, которые переводят систему по данной стрелке.

В соответствии с размеченным графом состояний, используя данное состояние, запишем систему обычных дифференционных уравнений вероятностей состояний таким образом:

;