Практическая работа № 7

« Исследование устойчивости линейных систем с применением

Критерия Гурвица, Льенар-Шипара»

Цель работы:

Изучение методов оценки устойчивости стационарных линейных САУ с помощью алгебраических критериев устойчивости линейных систем.

Задание:Для оценки устойчивости системы по алгебраическим критериям устойчивости Гурвица, Рауса необходимо выполнить следующие этапы:

- определить передаточную функцию замкнутей системы;

- полученную передаточную функцию упростить (привести к об­щему знаменателю, сократить, раскрыть скобки, привести подобные члены и расписать их по степени убывания оператора) и получить её в дробно-рациональном операторном виде;

- выделить характеристическое уравнение системы;

- оценить выполнение (невыполнение) необходимого условия устойчивость;

- оценить выполнение (невыполнение) достаточного условия устойчивости, посчитан п определителей Гурвица или таблицу схему Рауса.

Общие сведения

Устойчивостью называется свойство системы автоматического управления возвращаться в исходное состояние после снятия возмущающего воздействия. Устойчивость является основным свойством САУ.

Правильно спроектированная автоматическая система должна обеспечивать устойчивость при всех внешних воздействиях. Если в результате анализа она окажется неустойчивой, то необходимо изменить параметры управляющего устройства или ввести в нее дополнительные корректирующие звенья. Основное условие нормального функционирования САУ состоит в обеспечении устойчивости ее переходного процесса.

Переходные процессы на выходе устойчивой системы имеют затухающий характер. На рисунке 7.1(а) изображены переходные процессы устойчивой системы, а на рисунке 6.1(б) – неустойчивой, при подаче на ее вход ступенчатого воздействия.

Рисунок 7.1

Как уже отмечалось, динамические процессы в линейной САУ описываются дифференциальным уравнением, связывающим выходной сигнал y(t) с входным x(t):

. (7.1)

Решение этого уравнения можно представить в следующем виде: y(t) = y_CB(t) + y_ВЫН(t), где y_ВЫН(t) – вынужденная составляющая выходного сигнала, зависящая от входного воздействия, y_CB(t) – свободная составляющая выходного сигнала, зависящая от параметров системы. Входной сигнал можно рассматривать как бесконечно малое возмущение в виде толчка в момент времени t0, являющееся постоянной величиной при t > t0(например, ступенчатое), которое выводит систему из положения равновесия. В этом случае вынужденную составляющую можно не учитывать и устойчивость или характер выходного сигнала САУ будет определять только свободная составляющая выходного сигнала.

Общее решение уравнения (7.1) при условии равенства нулю его правой части имеет вид

(7.2)

где Ai– постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями; λi – корни следующего уравнения:

(7.3)

Уравнение (7.3) называется характеристическим уравнением системы и может быть получено приравниванием нулю характеристического полинома передаточной функции.

Таким образом, исследование устойчивости линейной САУ основывается на использовании характеристического уравнения вида (6.3). Необходимо отметить, что в характеристическом уравнении λ уже не оператор дифференцирования, а некоторое комплексное число, определяющее в результате решения этого уравнения его корни:

(7.4)

Очевидно, что все слагаемые уравнения (7.2) при t→∞будут стремиться к нулю при условии ai< 0, то есть для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. Это условие называется условием устойчивости А.М.Ляпунова (доказано им в 1892 году).

Из условия устойчивости нетрудно вывести необходимое условие устойчивости: для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (7.3) были положительными.

Необходимо отметить, что корни характеристического уравнения могут быть действительными, мнимыми и комплексными. Так как характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты, для каждого мнимого и комплексного корня всегда существует сопряженный корень.

Если корни характеристического уравнения изображать соответствующими точками на комплексной плоскости (рисунок 7.2), то ясно, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости (слева от мнимой оси).

САУ неустойчива, если хотя бы один из корней характеристического уравнения будет располагаться справа от мнимой оси jw ( на рисунке 7.2 корни ). При расположении корней на мнимой оси САУ находится на границе устойчивости (на рисунке 7.2 корни и ), чему будет соответствовать переходный процесс с незатухающими периодическими колебаниями постоянной амплитуды.

Рисунок 7.2

Вычисление корней при помощи аналитических выражений можно произвести для уравнений до четвертой степени, а для уравнений более высоких степеней общих выражений не существует. Однако для определения устойчивости нет необходимости определять значения корней – достаточно получить информацию о знаках их вещественных частей. На этом подходе основаны специальные методы (критерии) оценки устойчивости без вычисления корней характеристического уравнения. С помощью критериев устойчивости можно оценить влияние на устойчивость системы ее параметров.