Геометрический и физический смысл производной
Вертикальная
Вертикальная асимптота — прямая вида при условии
существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
1.
2.
Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов
Пример наклонной асимптоты
1.
2.
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами
Если при вычислении предела , то наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при , из этого следует что
1. Функция не может иметь наклонную асимптоту одновременно с горизонтальной при , аналогично для , но так же возможен случай когда и вовсе нет асимптот.
2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.
График функции с двумя горизонтальными асимптотами
Нахождение асимптот
Порядок нахождения асимптот
1. Нахождение вертикальных асимптот.
2. Нахождение двух пределов
3. Нахождение двух пределов :
Если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .
Наклонная асимптота — выделение целой части
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция .
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:
.
При , , то есть:
,
и является искомым уравнением асимптоты.
15 вопрос:
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной —интегрирование.
История
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.
Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.[1]
Определение
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде
если существует.
Геометрический и физический смысл производной