Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной

Физический (механический) смысл

Вытекает из задачи о скорости прямолинейного движения.

Скорость ʋ прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t:

ʋ = S′(t).

По аналогии с этим производную любой функции часто называют скоростью изменения этой функции.

Геометрический смысл

Пусть на плоскости Оху кривая задана уравнением у = f(х). Требуется провести касательную к кривой в данной точке М(х,у), где у = f(х).

Так как точка касания дана, то для решения задачи необходимо найти угловой коэффициент искомой касательной, т.е. k = tgα, где α - угол наклона касательной к оси Ох.

 
  Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru

Выберем на той же кривой точку М1(х+∆х,у+∆у), где у+∆у = f(х+∆х). Отсюда

∆у = f(х+∆х) ‒ у или ∆у = f(х+∆х) ‒ f(х).

Проведем через точки М и М1 секущую ММ1 и обозначим угол ее наклона через φ.

0.3.1. Касательной к данной кривой у = f(х) в точке М называется предельное положение секущей ММ1 при стремлении точки М1 к точке М по кривой (т.е. при ∆х→0).

Если М1→М при ∆х→0, то Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru и Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru

Из рисунка видно, что Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru

Следовательно,

Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru или Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru . (2)

Равенство (2) можно переписать в виде

Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru .

Таким образом, угловой коэффициент k касательной к кривой у = f(х) в точке с абсциссой х есть производная f′(х).

Если точка касания М имеет координаты (х00), то угловой коэффициент касательной k = f′(х0). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, которое имеет вид:

у ‒ у0 = k(х ‒ х0),

можно записать уравнение касательной к кривой у = f(х) в точке М(х00):

Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru .

0.3.2. Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной называется нормалью к кривой.

Используя условие перпендикулярности прямых на плоскости, получим уравнение нормали:

Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru ,

при условии, что Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru .

Вопрос 4. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности

О.4.1.Функция у = f(х) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение ∆у в этой точке можно представить в виде

∆у = А∆х + α(∆х) ∆х, (3)

где А – некоторое число, не зависящее от ∆х; α(∆х) - функция аргумента ∆х, являющаяся бесконечно малой при ∆х→0, т.е. Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru .

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.

Т.4.1.(связь между дифференцируемостью и существованием производной в точке)

Для того чтобы функция у = f(х) была дифференцируема в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

В этом случае в равенстве (3): А = f′(х).

Следующая теорема устанавливает связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции.

Т.4.2. (связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции)

Если функция у = f(х) дифференцируема в точке х, то в этой точке она непрерывна.

Замечание

Обратная теорема не верна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми.

Пример 2. Функция Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru непрерывна в точке х =0, но не имеет производной в этой точке (т.к. в точке х = 0 графика функции не существует касательной).

Вопрос 3. Физический и геометрический смысл производной - student2.ru

Следовательно, непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции.

О.4.2.Функция у = f(х), дифференцируемая в каждой точке множества Х, называется дифференцируемой на множествеХ.

Наши рекомендации