Выпуклость и вогнутость графика функции

Это свойство кривой мы часто используем в реальной действительности. Математически его можно описать по-разному.

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru Рис. 8.12. График функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , являющийся выпуклым на данном участке.  

Будем называть график функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru ВЫПУКЛым (рис. 8.12) (ВОГНУТым (рис. 8.13)) на участке, соответствующем изменению x от a до b, если точки любой дуги выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru графика функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , где выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru и выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , лежат выше (ниже) хорды, стягивающей эту дугу.

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru Рис. 8.13. График функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , являющийся вогнутым на данном участке.

Важно отметить, что любая дуга графика функций с концами, имеющими абсциссы x1 и x2 выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , должна обладать указанным свойством. Если это условие не выполнено, то расположение графика функции выше (ниже) только одной хорды, имеющей абсциссы a и b, не гарантирует выпуклости (вогнутости) графика функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru на отрезке выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru (рис. 8.14 и рис. 8.15).

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru   Рис. 8.14. График функции, не являющийся выпуклым на отрезке выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru .  

В дальнейшем мы рассмотрим и другой способ введения этих понятий.

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru Рис. 8.15. График функции, не являющийся вогнутым на отрезке выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru .  

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ .

Построение графика функции часто значительно облегчается, если известны связанные с ним прямые, называемые асимптотами. Асимптоты вводятся для кривых, ветви которых уходят в бесконечность. Это может иметь место в случаях, когда функции неограниченны или заданы на неограниченном промежутке. Понятие асимптоты мы также введем не вполне строго, но в дальнейшем уточним.

Будем называть некоторую прямую

Y = ax + b

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru а)б) Рис. 8.16. Некоторые случаи расположения кривой выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru относительно асимптоты: а) кривая не пересекает асимптоту; б) кривая пересекает асимптоту.

НАКЛОННОЙ АСИМПТОТОЙ для графика функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , если к ней приближаются сколь угодно близко точки кривой при удалении в бесконечность. Она может не пересекаться с асимптотой (рис. 8.16, а) или приближаться к ней, пересекая ее конечное или бесконечное число раз (рис. 8.16, б).

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная.

Существует и рассматривается ВЕРТИКАЛЬНАЯ АСИМПТОТА. Так называется прямая x = a, если при стремлении x к a функция неограниченно возрастает или неограниченно убывает. Можно привести в качестве примера известные функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru (рис. 8.17) и выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru (рис. 8.18), которые имеют вертикальные асимптоты соответственно



выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru Рис. 8.17. Графики функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru ,вертикальной асимптоты выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru и горизонтальной асимптоты y = 0.
выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru Рис. 8.18. Графики функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru и вертикальных асимптот выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru .

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru и выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

Обратная функция

Пусть функция выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru задает взаимно однозначное соответствие между областью определения функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru и множеством ее значений выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , то есть каждый элемент выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru из множества выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru является образом одного и только одного элемента выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru из множества выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru . Так как при этом оказывается, что КАЖДОМУ элементу выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru ставится в соответствие ЕДИНСТВЕННЫЙ элемент выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , то можно говорить, что на множестве выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru определена функция, ОБРАТНАЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ДАННОЙ функции выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , которую обозначают выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru ,

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

Если у обратной функции, как и у данной функции, аргумент обозначить за выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , а зависимую переменную за выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , то обратная функция запишется в виде:

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru .

Наличие взаимно однозначного соответствия между множествами Х и Уобеспечивает существование обратной функции, чего нельзя добиться при других отображениях, которые можно установить между этими множествами.

Графики функций выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru и выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , совпадают, а графики функций выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru и выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru тогда симметричны относительно прямой y = x, так как у них переставляются выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru и выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru .

Например, функция

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

на отрезке, “области значений”, [-2; 0] имеет обратную функцию (риc. 8.19)

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru .

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru Рис. 8.19. Взаимное расположение графиков прямой и обратной функций.

Отметим, что функция выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru на промежутке [-2;2] уже не имеет обратной, так как, например, значению выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru соответствует два значения выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , что нарушает взаимную однозначность соответствия между множествами D( f )и E( f ).

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru Рис. 8.20. Обратная функция для немонотонной функции.

Строгая монотонность функции является достаточным, но не необходимым условием существования ей обратной. Например, функция, которая изображена на рис. 8.20, не является строго монотонной, но она имеет обратную.

Сложная функция

Сложная функция не есть указание на трудности, связанные с ее исследованием. Это конкретное математическое понятие, основанное на идее отображения.

Пусть функция выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru отображает множество Xна множество Y, а функция выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru отображает множество Yв множество Z. Тогда функция

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

называется СЛОЖНОЙ ФУНКЦИЕЙ, ИЛИ СУПЕРПОЗИЦИЕЙ (КОМПОЗИЦИЕЙ) ФУНКЦИЙ.

Она определена на множестве X и отображает его в множество Z.

При этом функция

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

называется ПРОМЕЖУТОЧНЫМ АРГУМЕНТОМ для функции

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru .

Например, функция

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

может рассматриваться как сложная, образованная суперпозицией функций

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

и

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

Классификация функций

Выделим первоначально ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ :

–степенную: выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

– показательную: выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

– логарифмическую: выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

– тригонометрические и обратные тригонометрические:

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ будем называть совокупность всех функций, которые можно получить из основных элементарных функций путем применения к ним конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления), а также сложные функции, образуемые на их основе, как их композиция.

Во множестве элементарных функций выделяются следующие классы.

ЦЕЛЫМИ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ называются многочлены с действительными коэффициентами

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ называются функции, являющиеся отношениями многочленов:

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

Под РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ будем понимать совокупность целых рациональных и дробно–рациональных функций.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫми ФУНКЦИямИ называются функции, образуемые применением к аргументу операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня, а также сложные функции, образованные на их основе и не являющиеся рациональными.

Например, функция

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

иррациональна, так как является сложной, составленной из двух функций

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru .

Функция выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru –дробно-рациональная, а функция выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru ,являющаяся степенной с дробным показателем 1/2 –иррациональная.

АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИназывается совокупность рациональных и иррациональных функций.

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ – все элементарные функции, не являющиеся алгебраическими. В их числе основные элементарные функции, кроме степенных функций с рациональными показателями.

В математике кроме элементарных функций имеются и НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ. К числу таких функций относится уже известная функция выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru , выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru .

Неэлементарной является и функция Дирихле

выпуклость и вогнутость графика функции - student2.ru

Построение графика этой функции не представляется возможным, так как на любом сколь угодно малом отрезке из ее области определения найдутся как рациональные, так и иррациональные числа.

На рис. 8.21 приведена классификация элементарных функций.

Функция Дирихле лишний раз убеждает нас в том, что график не есть отличительный признак функциональной зависимости. Однако во многих случаях бывает полезно завершить исследование функций именно построением ее графика. Это требует не только знания свойств элементарных функций, но и владения простейшими приемами построения их графиков.

Наши рекомендации