Прямая и плоскость в пространстве
Определители
Для вычисления определителя второго порядка используют формулу:
A= =
-вычисление определителя 3-го порядка
,
- система m линейных уравнений относительно n неизвестных.
Напрявляющие косинусы:
Направляющие косинусы вектора связаны соотношением:
cos2а + cos2 + cos2 = 1
скалярное произведение-
-векторное произведение
,
Геометрический смысл векторного произведения
Смешанное произведение
- Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , и объем образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам:
Прямые на плоскости
Ах + Ву + С =0-общее уравнение прямой
1) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору ;
2) – уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору {каноническое уравнение прямой);
3) – параметрические уравнения прямой;
4) – уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых на координатных осях Ох и Оу соответственно
5) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки и ;
6) – уравнение прямой, проходящей через точку , k - угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох;
7) у = kx + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k; b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу;
8) – тангенс острого угла между двумя прямыми
и ;
9) и – условия параллельности и перпендикулярности двух прямых и ;
10) – расстояние от точки до прямойАх + By + С = 0;
11) , , ≠ –1 - координаты точки М(х, у), делящей отрезок в отношении , , ;
12) , – координаты середины отрезка , , .
13) – уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и .
Плоскость
– уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору = ={А;В;С)
2) Ах + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости, = {А, В, С} - нормальный вектор этой плоскости.
3) – уравнение плоскости в отрезках, где а, b, с - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью а на координатных осях Ох, Оу, Oz соответственно;
4) В качестве угла φ между плоскостями и принимают угол между их нормальными векторами:
или в координатной форме
6) Условие параллельности двух плоскостей и :
7) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
, , :
или в координатной форме:
.
8)
есть формула расстояния от точки до плоскости α.
Прямая и плоскость в пространстве
1) – канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору ;
2) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки и ;
3) уравнения
параметрические уравнения прямой в пространстве.
4) За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами
или в координатной форме
5) - условие перпендикулярности двух прямых и .
6) - условие параллельности двух прямых и в пространстве.
7) Общие уравнения прямой в пространстве
где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам .
Кривые второго порядка
Окружность
Каноническое уравнение окружности имеет вид:
где М(x0 y0) - центр, R- радиус.
Эллипс
Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов - 2а.
Фокусы эллипса - , расстояние между ними - через 2с
каноническое уравнение эллипса имеет вид:
.
точка - центр эллипса, - большая и малая полуоси эллипса. Фокусы эллипса расположены в точках, удаленных на расстоянии от центра эллипса.
эксцентриситетом эллипса ( ).
Гипербола
каноническое уравнение имеет вид:
точка - центр гиперболы, - действительная и мнимая полуось.
- асимптоты гиперболы.
Парабола
Если директриса параболы перпендикулярна Ох (Ох - ось симметрии), то уравнение параболы имеет вид:
, где р - расстояние от фокуса до директрисы, точка (х0; у0) - вершина параболы.
Уравнение директрисы: .
Фокус в точке .
Если Оу - ось симметрии, то уравнение параболы имеет вид:
. Уравнение директрисы: . Фокус в точке .
Таблица