Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Многие задачи в области механики, физики, электротехники, робото-техники, систем управления, химической технологии и других технических систем приводят клинейным дифференциальным уравнениям второго порядка.
Уравнения вида
, (8.11)
где - заданные функции, называется линейным ДУ второго порядка. Это уравнение содержит неизвестную функцию и её про-изводные в первой степени. Функции называются коэф-фициентами уравнения (8.11), а - свободным членом.
Если свободный член , то уравнение (8.11) называется линейным однородным, а если , то уравнение (8.11) неоднородно.
Линейные однородные ДУ второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка:
(8.12)
и установим некоторые свойства решений этого уравнения.
Теорема.Если функции и являются решениями уравнения (8.12), то решением этого уравнения является также линейная комбинация этих функций
, (8.13)
где с1 и с2 - произвольнее постоянные.
Доказательство. Подставим функцию (8.13) и её производные в левую часть (8.12). Получим
( (
(
.
Таким образом, функция является также является ре-шением уравнения (8.12).
Итак, функция вида у = с произвольными постоянными с1 и с2 является решением уравнения (8.12). Докажем в последствии, что (8.13) при некоторых условиях является общим решением (8.12). Для этого рассмотрим понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.
Функции и называется линейно зависимыми на (a,b), если существуют такие числа с1 и с2, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство
. (8.14)
Очевидно, что если функции и линейно зависимы, то они пропорциональны. Действительно, если , причём
и , то . Верно и обратное.
Функции и называется линейно независимыми на (a,b), если не существует таких чисел с1 и с2, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство (8.14).
Другими словами, равенство (8.14) выполняется сразу для всех , если только с1 = с2 = 0.
Очевидно, что если функции и линейно независимы, то их отношение , т.е. они не пропорциональны.
Так, например, функции и линейно независимы на любом интервале , поскольку , а функции и линейно зависимы на любом интервале , так как .
Признак линейной зависимости системы функций связан с так назы-ваемым определителем Вронского или вронскианом. Для двух дифферен-цируемых функций и вронскиан имеет следующий вид
W(x) = .
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 1. Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на (a,b), то определитель Вронского на этом интервале равен нулю.
Доказательство. Так как функций и линейно зависимы, то они пропорциональны = α и = α , тогда определитель Вронского
= = 0.
Теорема 2.Для того, чтобы две дифференцируемые функций и были бы линейно независимы на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского на этом сегменте был бы отличен от нуля.
.
Теорема(о структуре общего решения ЛОДУ второго порядка) Если два решения и ЛОДУ линейно независимы, то их линейная комбинация
у =
является общим решением этого уравнения.
Доказательство. Так как и являются решениями уравнения (8.12), то их линейная комбинация у = также – решение этого уравнения. Остаётся доказать, что это решение общее, т.е., что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, (8.15)
Подставляем данные условия в решение , получим систему уравнений
, (8.16)
относительно неизвестных с1 и с2.
Определитель этой системы
равен значению вронскиана в точке х = х0 . Но так как и являются линейно независимыми на [a,b] , то согласно теореме 2, . А это означает, что система (8.16) имеет единственное решение:
, .
Решение является единственным частным решением уравнения (8.12), удовлетворяющим начальным условиям (8.15). Теорема доказана.