Основные правила дифференцирования

Пределы и непрерывность

Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач.

Если существуют конечные пределы и , то

1) ;

2) ;

3) ( если ).

Отметим еще два замечательных предела и следствия из них:

1) ;

2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Задача 1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) ; ж) ;

з) ;

и) ;

к) ; л) . м) .

Очевидно, что в каждой из перечисленных задач нельзя непосредственно применить теоремы 1-3.

Решение. а) Если , то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно разделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на , где - степень многочлена, стоящего в знаменателе: .

Здесь мы воспользовались равенством при .

б) Прежде чем решать эту задачу, отметим, что если два многочлена и обращаются в нуль при , т.е. , то они представляются в виде

и .

И тогда

и т.д.

Постараемся свести нашу задачу к указанному случаю предела частного двух многочленов, для чего и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, умножим на , избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе. Итак,

в) Для решения этой задачи воспользуемся первым замечательным пределом:

(Так как при ).

г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым замечательным пределом:

Последнее равенство вытекает из того, что в квадратной скобке стоит , где .

д) Для решения этой задачи применим первое следствие из второго замечательного предела:

( Здесь ).

Решения задач е, ж аналогичны решению задачи а.

Например, задача ж имеет следующее решение:

Задача 2. Задана функция аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной:

Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение. Из непрерывности элементарных функций на их естественной области определения следует, что точками разрыва нашей функции могут быть только точки и . Исследуем функцию на непрерывность в указанных точках, для чего найдем пределы функции справа и слева в этих точках. Если предел справа будет равен пределу слева и совпадет со значением функции в точке, то функция в точке непрерывна:

; ; .

Из этих равенств следует непрерывность функции в точке . Проверим, будет ли функция непрерывна в т. :

; .

Так как , то в точке функция терпит разрыв первого рода (пределы справа и слева существуют и конечны).

Для того чтобы сделать чертеж, изобразим графики функций для ; для и для (рис. 3).

Рис.3

Производная функции

Производная функция от функции в данной точке определяется равенством

Таблица производных выглядит следующим образом:

1. . 2. .

3. , в частности .

4. , в частности .