Задачи для самостоятельного решения. Определённый интеграл.
Определённый интеграл.
Пусть на отрезке [a; b], (всюду ) определена непрерывная ограниченная функция f(x). Произвольным образом разобьем отрезок [a; b] на n отрезков точками . . Полученные отрезки , ,…, будем называть частичными. Длину k-го частичного отрезка , , обозначим . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку , (рис. 1) и вычислим значение функции в этой точке, т. е. .
Рис.1
Для каждого k, , найдём произведение и составим сумму:
(1)
Сумма (1) называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a; b].
Определённым интегралом от функции f(x) в промежутке [a; b] называется предел её интегральной суммы, когда число частичных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:
.
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [a; b] – отрезком интегрирования.
Функция f(x), для которой существует предел интегральной суммы, называется интегрируемой на отрезке.
Классы интегрируемых функций:
1) непрерывная на отрезке [a; b] функция интегрируема;
2) ограниченная на отрезке [a; b] функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема;
3) монотонная ограниченная функция интегрируема.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Определённый интеграл. Стр. 1
Свойства определенного интеграла.
1. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .
2. Определённый интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю: .
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак: .
4. свойство аддитивности: при любом взаимном расположении чисел a, b, c имеет место формула: .
5. свойство линейности: .
Вычисление определённого интеграла.
1. Формула Ньютона – Лейбница: , где F(x) – первообразная для f(x).
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. .
2. Замена переменной:пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a;b] функция, а функция и ее производная непрерывны на отрезке , где , . Тогда справедлива формула: .
Вместе с заменой переменной в определенном интеграле заменяются пределы интегрирования.
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Используем метод замены переменной. Положим . Тогда .
Находим новые пределы интегрирования, используя равенство замены переменной: если , то ; если , то .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Определённый интеграл. Стр. 2
Получим: = .
3. Интегрирование по частям: пусть u(x) и v(x) – непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям: .
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение.
.
Задачи для самостоятельного решения.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;
11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. .
Домашнее задание.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Определённый интеграл. Стр. 3