ГЛАВА 5. Модели долгосрочного страхования жизни

Указания по самостоятельному изучению темы

Цели

Иметь представление:

· о видах долгосрочного страхования жизни;

· о принципах назначения разовых нетто-премий для основных непрерывных и дискретных видов страхования.

Знать:

· теорему о дисперсии приведенной ценности;

· основные вычислительные формулы для расчета нетто-премий.

Уметь:

· вычислять актуарную стоимость будущей страховой выплаты;

· вычислять разовые нетто-премии для различных видов страхования жизни.

Долгосрочное страхование характеризуется тем, что при расчетах принимается во внимание изменение ценности денег с течением времени.

Поэтому теория долгосрочного страхования существенно опирается на теорию сложных процентов. Мы будем предполагать, что интенсивность процентов не меняется с течением времени, , будет обозначать эффективную годовую процентную ставку, – коэффициент дисконтирования.

Страховое возмещение обычно выплачивается в виде одиночной суммы в момент смерти застрахованного – такие виды страхования часто называют непрерывными. Однако возможны выплаты и в другие моменты времени. Наиболее важен случай, когда выплата производится не в момент смерти, а в следующий за ним день рождения застрахованного – такие виды страхования часто называют дискретными. Если считать, что возраст застрахованного в момент заключения договора – целое число, то дискретные договора можно описать как договоры с выплатой страховой суммы в очередную, после момента смерти, годовщину заключения договора. В самом общем случае момент выплаты страховой суммы является некоторой функцией от остаточного времени жизни застрахованного.

Величина страхового возмещения, как правило, фиксирована и мы будем принимать ее в качестве единицы измерения денежных сумм. Однако в ряде случаев возмещение может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от момента выплаты. С этой целью мы введем функцию , которая определяет величину страховой выплаты в случае смерти в момент .

Две функции и , определяют общую модель страхования жизни. С ее помощью можно единообразно описать различные конкретные виды страхования.

Пожизненное страхование.

Простейшим видом долгосрочного страхования является пожизненное страхование. При этом виде страхования фиксированная страховая сумма выплачивается в момент смерти и поэтому

.

-летнее чисто накопительное страхование

При этом виде страхования выплата страховой суммы фиксированной величины производится в момент , если застрахованный дожил до этого момента. В случае смерти до момента компания не платит ничего. Этот вид страхования описывается следующими функциями и

,

-летнее временное страхование жизни.

При этом виде страхования выплата фиксированной страховой суммы производится в момент смерти, если застрахованный умер в течение срока действия договора, т.е.на протяжении лет с момента заключения договора. Если же застрахованный прожил эти лет, то компания не платит ничего. Этот вид страхования можно описать функциями:

,

-летнее смешанное страхование

При этом виде страхования выплата фиксированной страховой суммы производится на следующих условиях. Если смерть застрахованного наступит до истечения срока действия договора, то страховая сумма выплачивается в момент смерти. Если же застрахованный дожил до окончания срока действия договора, то страховая сумма выплачивается в момент окончания срока действия договора. Нетрудно понять, что этот вид страхования выполняет функции как собственно страхования, так и накопления средств. Этот вид страхования описывается следующими функциями и :

, .

Пожизненное страхование, отсроченное на лет

При этом виде страхования выплата фиксированной страховой суммы производится в момент смерти застрахованного, но только если она произошла по истечении -летнего срока с момента заключения договора. Если застрахованный умрет раньше, чем через лет после заключения договора, страховое возмещение не выплачивается вовсе.

Этот вид страхования описывается следующими функциями и :

,

Страхование с переменной страховой выплатой

Во всех рассмотренных выше примерах величина страховой выплаты была фиксирована и не зависела от момента выплаты. Существуют виды страхования, когда страховое возмещение может меняться. В качестве примера рассмотрим простейший случай – пожизненное страхование с непрерывно увеличивающимся страховым возмещением. При этом виде страхования компания выплачивает в момент смерти сумму, равную . Этот случай описывается общей моделью при

, .

Теорема о дисперсии приведенной ценности

Рассмотрим некоторый договор страхования, описываемый с помощью функций и . Пусть

приведенная стоимость страхового пособия на момент заключения договора с человеком в возрасте лет. Чтобы подчеркнуть зависимость случайной величины от процентной ставки, будем писать . Обозначим также через

актуарную приведенную стоимость будущей страховой выплаты, если интенсивность процентов равна .

Предположим теперь, что в нашей общей модели страхования функция

принимает только значения 0 и 1, т.е. если в соответствии с условиями договора в некоторый момент выплачивается страховое возмещение, то его величина не зависит от момента выплаты. Все описанные выше виды страхования, кроме страхования с переменной страховой выплатой, удовлетворяют этому условию. Тогда и поэтому

,

т.е. -я степень современной величины будущей страховой выплаты, подсчитанной для интенсивности процентов , совпадает с современной величиной будущей страховой выплаты, но подсчитанной для интенсивности процентов . Тем более равенство верно для средних значений, т.е.

.

В частности,

.

Разовые нетто-премии для основных непрерывных видов страхования

Как следует из изложенного выше, разовая нетто-премия для любого договора страхования, описываемого функциями и , есть

,

где – величина страхового возмещения, приведенная на момент заключения договора, а – возраст застрахованного в этот момент.

Для конкретных видов страхования общая формула может быть упрощена и конкретизирована. Для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет о конкретных видах страхования, переменные и снабжаются различными индексами. Основные правила, регулирующие индексы, следующие:

1. Справа внизу во всех случаях ставится возраст застрахованного на момент заключения договора: .

2. Если договор страхования непрерывный, т.е. страховое пособие выплачивается в момент смерти, то сверху ставится черта: .

3. Если договор действует ограниченный период времени , то после возраста через двоеточие ставится дополнительный индекс , обрамленный уголком: .

4. Если договор отсрочен на лет, то внизу слева ставится индекс : .

5. Если величина страховой суммы регулярно возрастает, то добавляется буква : .

Рассмотрим теперь конкретные договоры страхования.

Пожизненное страхование

Современная стоимость страховой выплаты в момент заключения договора с человеком в возрасте лет обозначается , а актуарная современная стоимость страховой суммы в момент заключения договора .

можно следующим образом выразить через характеристики времени жизни:

.

-летнее чисто накопительное страхование.

Актуарная приведенная стоимость страховой суммы обозначается и дается формулой:

.

-летнее смешанное страхование

Актуарная современная стоимость страховой суммы в момент заключения договора с человеком в возрасте лет вычисляется по формуле:

.

Пожизненное страхование, отсроченное на лет

Для данного вида страхования актуарная современная стоимость вычисляется по формуле:

.

Страхование с переменной страховой выплатой.

Актуарная современная стоимость страховой суммы обозначается и вычисляется:

.

Резюме

Долгосрочное страхование характеризуется тем, что при расчетах принимается во внимание изменение ценности денег с течением времени.

Поэтому теория долгосрочного страхования существенно опирается на теорию сложных процентов. Интенсивность процентов не меняется с течением времени, – эффективная годовая процентная ставка, – коэффициент дисконтирования.

Страховое возмещение обычно выплачивается в виде одиночной суммы в момент смерти застрахованного – такие виды страхования часто называют непрерывными. Однако возможны выплаты и в другие моменты времени. Наиболее важен случай, когда выплата производится не в момент смерти, а в следующий за ним день рождения застрахованного – такие виды страхования часто называют дискретными. Если считать, что возраст застрахованного в момент заключения договора – целое число, то дискретные договора можно описать как договоры с выплатой страховой суммы в очередную, после момента смерти, годовщину заключения договора. В самом общем случае момент выплаты страховой суммы является некоторой функцией от остаточного времени жизни застрахованного.

Величина страхового возмещения, как правило, фиксирована и мы будем принимать ее в качестве единицы измерения денежных сумм. Однако в ряде случаев возмещение может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от момента выплаты. С этой целью мы введем функцию , которая определяет величину страховой выплаты в случае смерти в момент .

Две функции и , определяют общую модель страхования жизни. С ее помощью можно единообразно описать различные конкретные виды страхования.

Вопросы для самопроверки

1. В чем отличие долгосрочного страхования от краткосрочного?

2. Перечислите основные виды долгосрочного страхования жизни. В чем они заключаются?

3. Сформулируйте теорему о дисперсии приведенной ценности.

4. Что называют актуарной приведенной стоимостью (ценностью)?

5. Принципы назначения разовых нетто-премий для основных непрерывных видов долгосрочного страхования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время практически в любой области человеческой деятельности используются методы математического моделирования. Не составляет исключения и страховая деятельность. Описание финансовых операций, носящих вероятностный характер, является предметом актуарной науки, получившей свое название от термина «актуарий». В современном понимании актуарий – это человек, который обладает определенной квалификацией для оценки рисков и вероятностей в области финансов и бизнеса, связанной со случайными событиями. Актуарии традиционно играли и играют главную роль в страховании жизни. Комбинирование моделируемой смертности и вероятностей выживания с пониманием финансовой математики является основой профессии. Во многих странах актуарии также активно действуют в области финансов и инвестиций, а также в банковских и других нестраховых финансовых институтах.

История развития актуарной математики неразрывно связана с историей развития страхования и насчитывает много веков. Однако изучение актуарной математики не является простым занятием даже для специалистов в области страхования, так как по сложности объектов исследования и применяемому аппарату актуарная математика значительно превосходит общую теорию страхования. Еще более сложным оказывается применение полученных знаний на практике. Разрыв в сложности проявляется также и между литературой, посвященной страховому делу, и литературой по страховой математике. В настоящем пособии авторы постарались немного сгладить этот разрыв и надеются, что пособие будет полезно как студентам, изучающим актуарную математику, так и профессиональным актуариям.

ПРАКТИКУМ