Модели краткосрочного страхования жизни. Задача 4.1. Предположим, что в компании застраховано = 3000 человек с вероятностью смерти
Задача 4.1. Предположим, что в компании застраховано 
= 3000 человек с вероятностью смерти в течение года 
. Компания выплачивает сумму 
= 250000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года. Определите величину активов, достаточную, чтобы обеспечить вероятность разорения порядка 5%.
Решение.
Примем размер страховой суммы в качестве новой денежной единицы.
Прежде всего, мы должны подсчитать среднее значение и дисперсию суммарного ущерба 
.
Поэтому
Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина 
должна быть равной 
= 1,645, т.е. 
(от величины страхового пособия) или в абсолютных цифрах около 3 483 750 руб.
Задача 4.3. Страховая компания предлагает договоры страхования жизни на один год. Информация относительно структуры покрытия приведена в следующей таблице:
| Страховая сумма | Причина смерти | Вероятность |
| 500 000 | Обычная | 0,1 |
| 1 000 000 | Несчастный случай | 0,01 |
Относительная защитная надбавка равна 20%.
Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик использует нормальное приближение для распределения суммарных выплат.
Сколько договоров должен продать страховщик, чтобы собранная премия с вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты?
Решение.
Пусть 
– общее число проданных договоров. 
– выплаты по 
-му договору, 
– суммарные выплаты по всему портфелю, 
– относительная защитная надбавка, так что премия по одному договору равна 
.
По условию, 
. С другой стороны,
.
Поэтому
,
где – квантиль порядка 0,95 стандартного нормального (гауссовского) распределения.
Отсюда для искомого числа договоров имеем:
.
Поскольку для индивидуального договора,
,
,
, искомое число договоров равно 590.
Модели долгосрочного страхования жизни
Задача 5.1.Предположим, что продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом 120 лет, а эффективная годовая процентная ставка равна 15%. Подсчитайте нетто-премии для человека в возрасте 40 лет, если заключается договор:
а) пожизненного страхования;
б) 5-летнего смешанного страхования жизни;
в) пожизненного страхования, отсроченного на 2 года;
г) пожизненного страхования с непрерывно увеличивающейся страховой суммой.
Решение.
Как мы знаем, остаточное время жизни застрахованного имеет равномерное распределение на промежутке 
, значит, функция плотности имеет вид:
.
Интенсивность процентов 
, коэффициент дисконтирования 
. После этих предварительных замечаний приступим к расчетам:
а) для пожизненного страхования имеем
.
б) для смешанного 5-летнего страхования
.
в) для пожизненного, отсроченного на 2 года
.
г) для пожизненного, с непрерывно увеличивающейся страховой суммой
.
Задача 5.2. Страховая компания заключила 10000 договоров пожизненного страхования. Предположим, что остаточное время жизни каждого из застрахованных характеризуется интенсивностью смертность 
, которая не меняется с течением времени, а интенсивность процентов 
.
Подсчитайте величину премии, которая гарантировала бы 95% вероятность выполнения компанией своих обязательств.
Решение.
Подсчитаем вначале нетто-премию. В соответствии с формулой 
, где 
– плотность остаточного времени жизни. Поскольку нам известна интенсивность смертности, то мы можем найти функцию выживания
,
что, в свою очередь, дает формулу для плотности :
.
Теперь мы можем подсчитать нетто-премию:
.
Второй момент
,
следовательно, дисперсия
.
Теперь относительная страховая надбавка равна:
.
Соответственно премия есть
.
Напомним, что величина страховой суммы используется нами в качестве единицы измерения денежных сумм, так что, если, например, 
рублей, то 
рубля.