Сущность автокорреляции и методы устранения. Критерий Дарбина Уотсона

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Естественно что при создании модели разработчик не в состоянии учесть все факторы влияющие на зависимую переменную. Воздействию этих неучтенных факторов подвергается случайный член u уравнения регрессии. Для того чтобы выполнялось третье условие Гаусса-Маркова то есть cov(uk ui)=0 при k ≠ j необходимо чтобы скрытые в u факторы тоже были некоррелированные со своими значениями в предыдущих наблюдениях.

Естественно что в большинстве реальных экономических задач условие некоррелированности ошибок невыполнимо.

Наличие автокорреляции затрудняет применение ряда классических методов анализа временных рядов. В моделях регрессии описывающих зависимости между случайными значениями взаимосвязанных величин она снижает эффективность применения метода наименьших квадратов. Поэтому выработаны и применяются специальные статистические приемы для ее выявления и элиминирования а также для модификации самого метода наименьших квадратов. До сих пор предполагалось что значение случайного члена u в любом наблюдении определяется независимо от его значений во всех других наблюдениях то есть предполагалось что удовлетворено третье условие Гаусса – Маркова.

Автокорреляция – нарушение третьего условия Гаусса – Маркова которое заключается в том что случайные члены регрессии в разных наблюдениях являются зависимыми: cov(uk ui) №_ 0 при k №_ i.

Последствия автокорреляции в некоторой степени сходны с последствиями гетероскедастичности. Коэффициенты регрессии остаются несмещенными но становятся неэффективными и их стандартные ошибки оцениваются неправильно (чаще всего они смещаются вниз то есть занижаются).

Автокорреляция обычно встречается только в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Случайный член u в уравнении рег­рессии подвергается воздействию тех переменных влияющих на зависимую переменную которые не включены в уравнение регрессии. Если значение u в любом наблюдении должно быть независимым от его значения в предыдущем наблюдении то и значение любой переменной “скрытой” в u должно быть некоррелированным с ее значением в предыдущем наблюдении.

Положительная автокорреляция – ситуация когда случайный член регрессии в следующем наблюдении ожидается того же знака что и случайный член в настоящем наблюдении. Соответствует случаю . Отрицательная автокорреляция – ситуация когда случайный член регрессии в следующем наблюдении ожидается знака противоположного знаку случайного члена в настоящем наблюдении. Соответствует случаю
Автокорреляция первого порядка – ситуация когда коррелируют случайные члены регрессии в последовательных наблюдениях: .

Авторегрессионная схема первого порядка – частный случай автокорреляции первого порядка когда зависимость между последовательными случайными членами описывается формулой: uk+1= puk + ek+1 где p – константа ek+1 – новый случайный член

Критерий Дарбина – Уотсона обнаруживает только ярко выраженную автокорреляцию первого порядка и лишь при отсутствии лаговых переменных в регрессии.

Если автокорреляция отсутствует то p = 0 и поэтому величина d должна быть близкой к двум. При наличии положительной автокорреляции величина будет меньше двух; при отрицательной автокорреляции она будет превышать 2. Так как p должно находиться между значениями 1 и – 1 то d должно лежать между 0 и 4 Критическое значение d при любом данном уровне значимости зависит от числа объясняющих переменных в уравнении регрес­сии и от количества наблюдений в выборке. К сожалению оно также зависит oт конкретных значений принимаемых объясняющими переменными. Поэто­му невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок как это можно сделать для t- и F-статистик; но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения d. Для положительной автокорреляции они обычно обозначаются как dU и dL.

На схеме 1.1 представлена данная ситуация. Стрелка указывает критический уровень d который обозначается как dкрит. Если знать зна­чение dкрит то можно сравнить с ним значение d рассчитанное для регрессии. Если бы оказалось что d dкрит то невозможно было бы отклонить ну­левую гипотезу об отсутствии автокорреляции. В случае d dкрит возможно отклонить нулевую гипотезу и сделать вывод о наличии положительной автокорреляции.

Вместе с тем знаем только что dкрит находится где-то между dL и dU. Это предполагает наличие трех возможностей.

1. Величина d меньше чем dL. В этом случае она будет также мень­ше чем dкрит и поэтому делаем вывод о наличии положитель­ной автокорреляции.

2. Величина d больше чем dU. В этом случае она также больше кри­тического уровня и поэтому невозможно отклонить нулевую гипо­тезу.

3. Величина d находится между dL и dU. В этом случае она может быть больше или меньше критического уровня. Поскольку нельзя опреде­лить которая из двух возможностей налицо невозможно ни отклон­ить ни принять нулевую гипотезу.

В случаях 1 и 2 тест Дарбина—Уотсона дает определенный ответ но случай 3 относится к зоне невозможности принятия решения и изменить создавше­еся положение нельзя [6 C.18].

Таким образом зона неопределенности критерия Дарбина – Уотсона – промежуток значений статистики Дарбина–Уотсона при попадании в который критерий не дает определенного ответа о наличии или отсутствии автокорреляции первого порядка.

Проверка на отрицательную автокорреляцию проводится по аналогичной схеме причем зона содержащая критический уровень расположена симмет­рично справа от 2. Так как отрицательная автокорреляция встречается относи­тельно редко предполагается что при необходимости самостоятельно вычисляются гра­ницы зоны на основе соответствующих значений для положительной автокор­реляции при данном числе наблюдений и объясняющих переменных. Как показано на Схеме 1.2 величина (4 - dU) есть нижний предел ниже которого признается отсутствие автокорреляции а (4 - dL) — верх­ний предел выше которого делается вывод о наличии отрицательной автокорреляции.