Геометрический вектор, линейные операции над векторами

Метод Крамера решения СЛАУ

Рассмотрим СЛАУ, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных

(1)

Введем обозначения , , , …, . Здесь - определитель основной, квадратной матрицы СЛАУ, определитель получен из определителя заменой 1-го столбца столбцом свободных членов. Аналогично определитель получен из определителя заменой 2-го столбца столбцом свободных членов и т. д.

2. Теорема 1. (Крамер, Швейцария, 1704-1752) СЛАУ (1), определитель которой не равен 0, имеет единственное решение, определяемое формулами , .

3. Доказательство. Умножим 1-е уравнение системы (1) на алгебраическое дополнение к элементу матрицы - число .Коэффициент при равен , т. е. он равен разложению по 1-му столбцу того же определителя, в котором первый столбец заменен вторым столбцом. Но определитель с двумя равными столбцами равен 0. Аналогично коэффициенты при ,…, будут равны 0 и мы приходим к соотношению . Правая часть равна . Тем самым справедлива формула . Остальные из доказываемых формул выводятся аналогично.

Матричный метод решения СЛАУ

Рассмотрим СЛАУ, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, и запишем ее в виде . Если определитель основной матрицы этой системы отличен от 0, то существует обратная матрица , причем . Умножим обе части равенства слева на и получим равенство . Так как первые 2 сомножителя в левой части этого уравнения равны единичной матрице и тем самым сокращаются, то мы приходим к формуле

. (2)

Метод Гаусса решения СЛАУ

Рассмотрим СЛАУ с произвольным числом уравнений и произвольным числом неизвестных

(3)

и соответствующую расширенную матрицу . (4)

6. Определение 1. элементарные преобразования над строками матрицы:

1) перемена местами -й и -й строк матрицы,

2) умножение -й строки матрицы на число ,

3) прибавление к -й строке матрицы -й строки, умноженной на число ,

4) вычеркивание нулевой троки матрицы.

7. Теорема 2. Элементарные преобразования над строками расширенной матрицы не меняют множества решений соответствующей СЛАУ.

8. Доказательство. Относительно операций 1), 2), 4) утверждение является очевидным.

Преобразование № 3. Установим, что оно не уменьшает множество решений соответствующего СЛАУ: если числа , являются решением СЛАУ, то при подстановке этих чисел верным является каждое уравнение СЛАУ,=> и после умножения -го уравнения на число оно остается верным.

Геометрический вектор, линейные операции над векторами

9. Определение 1. Геометрические векторы- направленные отрезки, которые считаются равными, если длины отрезков и их направления совпадают, и для которых введены операции сложения векторов и умножения вектора на число по следующим правилам:

10. Введенные операции обладают свойствами: 1) - коммутативность, 2) - ассоциативность, 3) - существование нулевого элемента, 4) существование противоположного элемента , 5) , 6) дистрибутивность для числовых коэффициентов, 7) - дистрибутивность для векторов, 8) .

Лекция №7!

1. Заданы векторы , ,…, векторного пространства и числа , ,…, . Величина

2. числа , ,…, называются коэффициентами линейной комбинации

3. Теорема 1. Любые 2 не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы, причем любой третий вектор является их линейной комбинацией.

4. Теорема 2. Любые 3 не компланарных вектора на плоскости линейно независимы, причем любой четвертый вектор является их линейной комбинацией.

5. Доказательство теорем 1 и и . Их разность дает соотношение

6. Пусть в некотором линейном пространстве векторы , ,…, образуют базис и заданы вектора и . над векторами выполнены равенства , , .

7. Пусть в реальном пространстве задан вектор , тогда его длина может быть найдена по формуле .направляющий вектор единичной длины с тем же направлением. Вектор- , где - углы между вектором и осями координат. Сами величины -направляющие косинуса вектора .

8. Справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1)

2)

3)

4) , .

9. Теорема 3. Проекция линейной комбинации векторов и на вектор равна линейной комбинации проекций векторов и на вектор .

10. Доказательство. . . Кроме того, . Теорема доказана.

11. Заметим, что:

,

.

Лекция №8!

1. Теорема 1. В декартовой системе координат скалярное произведение геометрических векторов равно сумме попарных произведений их координат.

2. Доказательство. Рассмотрим скалярное произведение векторов и , заданных в декартовой системе координат . Используя свойства скалярного произведения векторов, запишем следующие преобразования:

3. Справедливы следующие свойства векторного произведения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Теорема 2. В декартовой системе координат векторное произведение геометрических пространственных векторов и равно вектору .

5. Доказательство. векторное произведение и , заданных в декартовой системе координат . Используя свойства 2), 3), запишем следующие преобразования:

.

Для получения заключительного результата заметим, что , , . Кроме того, из правой ориентации базисных векторов следует, что , , , , , . получаем, что . Теорема доказана.

Полученный результат можно записать в виде .В декартовой системе координат векторное произведение геометрических пространственных векторов и равно вектору, порождаемому определителем, у которого первая строка состоит из базисных векторов ; вторая строка состоит из координат вектора ; третья строка состоит из координат вектора .

6. Теорема 3. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов , и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, и взятому со знаком « », если тройка векторов – правая, и взятому со знаком « », если тройка векторов – левая.

7. Доказательство. заданы векторы , , . Векторное

произведение векторов и - вектор, перпендикулярный плоскости векторов , , равный по длине площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

8.

Скалярное произведение векторов и . Векторы , и вектор образуют правую тройку векторов => векторы , , также образуют правую тройку векторов, векторы и образуют острый угол и их скалярное произведение положительно. (Иначе оно отрицательно.) . Смешанное , , по модулю равно произведению площади основания параллелепипеда (параллелограмма, построенного на векторах , ) на высоту к этому основанию. Теорема доказана.

9. Теорема 5. Уравнение (1) при условии является общим уравнением прямой на плоскости.

10. Доказательство. Задано уравнение (1). Условие означает, что хотя бы одно из чисел отличен от 0. Роль этих коэффициентов симметрична, поэтому для определенности будем считать, что . => при выполнении условия (1) выполняется условие . Возьмем произвольное число и вычислим . => для точки выполнено соотношение . Вычитая это соотношение из уравнения (1), получим эквивалентное (1) уравнение на плоскости (2)

Уравнение (3) уравнение прямой в отрезках.

Уравнение (4) каноническое уравнение прямой на плоскости.

11. Пусть заданы 2 точки: и . Очевидно, что уравнение прямой, проходящей через эти две точки, запишется в виде (4^/).

12. Система уравнений вида (5) параметрическое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение ( ) (6) называется нормированным уравнением прямой на плоскости. (7) при условии является общим уравнением плоскости.

13. Уравнение (9) называется уравнением плоскости в отрезках.

14. (10) является уравнением плоскости, проходящей через 3 заданные точки , , , не лежащие на одной прямой.

Аналогично, уравнение (11) является уравнением плоскости, проходящей через 2 заданные точки , параллельно вектору , не коллинеарному вектору .

Также уравнение (12) является уравнением плоскости, проходящей через заданную точки параллельно двум не коллинеарным векторам и .

Уравнение ( , ) (13) называется нормированным уравнением плоскости. Уравнение (13) является уравнением плоскости, удаленной на расстояние от начала координат.

Лекция №9!

1. . Т. к. разложение вектора по базису единственное, то Подставив эти выражения в уравнение (1), мы получим уравнение этой кривой 2-го порядка в новой системе координат . Если это уравнение записать в виде и несложно найти коэффициент .

2. Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса. Уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы. Уравнение (4) называется каноническим уравнением параболы.

3. Теорема 1. Пусть заданы числа и , такие что . Точками , сумма расстояний от которых до точек и равна , являются те и только те точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (2), где .

4.

5. Доказательство. Расстояние от точки до точки равно , расстояние от точки до точки равно . Следовательно, заданными точками являются те и только те точки, для координат которых выполнено условие . Перенесем второе слагаемое вправо и возведем обе части соотношения в квадрат, получив - равносильное уравнение. Отсюда или . Еще раз возведем обе неотрицательные части в квадрат и получим равносильное уравнение или . После деления на правую часть мы приходим к «нужному» уравнению , где . Теорема доказана.

эксцентриситет, равный . Классической характеристикой является директриса – прямая, лежащая в плоскости конического сечения и такая, что отношение расстояний от любой точки кривой до соответствующего фокуса и до директрисы равно эксцентриситету. Для эллипса это две прямые .

Эллипс можно представить как единичную окружность, растянутую в раз вдоль оси абсцисс и в раз вдоль оси ординат.

уравнение эллипса .

6. Теорема 2. Пусть заданы числа и , такие что . Точками , разность расстояний от которых до точек и равна , являются те и только те точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3), где .

7.

8. Доказательство. Расстояние от точки до точки равно , расстояние от точки до точки равно . Следовательно, заданными точками являются те и только те точки, для координат которых выполнено условие . Перенесем второе слагаемое вправо и возведем обе части соотношения в квадрат, получив - равносильное уравнение. Отсюда или . Еще раз возведем обе неотрицательные части в квадрат и получим равносильное уравнение или . После деления на правую часть мы приходим к «нужному» уравнению , где . Теорема доказана.

В качестве характеристики гиперболы рассматривают эксцентриситет, равный и директриса. Для гиперболы это две прямые .

У канонической гиперболы есть две асимптоты , т. е. прямые, к которым график функции неограниченно приближается при удалении от начала координат к бесконечности.

Отметим, что уравнение гиперболы может быть записано в параметрическом виде .

9. Теорема 3. Пусть задано число . Точками , расстояние от которых до точки равно расстоянию до прямой являются те и только те точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (4).

10.

11. Доказательство. Расстояние от точки до точки равно , расстояние от точки до прямой равно . Следовательно, заданными точками являются те и только те точки, для координат которых выполнено условие . Возведем обе части соотношения в квадрат и получим или . Теорема доказана.

У параболы эксцентриситет равен .

12. Уравнение (6) называется каноническим уравнением эллипсоида. эллипс.

13. Уравнение (7) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Сечения, перпендикулярные осям абсцисс и ординат, являются гиперболами. эллипсом.

14. Уравнение (8) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Сечения, перпендикулярные осям абсцисс и ординат, являются гиперболами. Сечение , перпендикулярное оси аппликат, является эллипсом.

15. Также отметим уравнения: - конуса, - эллиптического параболоида, - гиперболического параболоида, - эллиптического цилиндра, -гиперболического цилиндра, - параболического цилиндра…

Лекция №10!

1. Теорема 1. Ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань. Ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю грань.

2. Лемма о вложенных отрезках. (Принцип вложенных отрезков Коши-Кантора или принцип непрерывности Кантора или теорема Кантора о вложенных отрезках) Для любой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна общая точка, принадлежащая всем отрезкам. Такая точка будет единственной, если длины отрезков стремятся к нулю.

Ограниченность последовательности, предел числовой последовательности, единственность предела, операции над последовательностями, бесконечно малые величины, свойства б. м., свойства пределов. Вычисление пределов. Бином Ньютона. Число e.

Лекция №11!

1. Теорема 1. Если предел числовой последовательности существует, то он единственный.

2. Доказательство. Доказательство теоремы проведем «методом от противного». Предположим, что теорема неверна и существует, как минимум, 2 числа и ( ), для которых выполнены условия определения 2. В этом определении возьмем . Тогда, после номера члены последовательности отличаются от числа меньше чем на , а после номера члены последовательности отличаются от числа меньше чем на . Покажем, что этого не может быть. В самом деле, при выполнены соотношения , , откуда для этих имеем . Теорема доказана.

3. Теорема 2. Если числовая последовательность имеет предел, то эта числовая последовательность ограничена.

4. Доказательство. Доказательство будет носить конструктивный характер. Возьмем и найдем соответствующее . Разобьем последовательность на 2 части: первые членов и остальные члены последовательности. Первая группа состоит из конечного числа членов и поэтому ограничена. Вторая группа состоит из чисел, удаленных от предельного значения не больше чем на 1, и поэтому также ограничена. Объединение двух ограниченных множеств есть множество ограниченное. Теорема доказана.

5. Теорема 5. Числовая последовательность имеет предел, равный тогда и только тогда, когда последовательность , является бесконечно малой величиной.

6. Доказательство. Пусть , т.е. при для каждого при выполнено неравенство ( ). Но это неравенство равносильно тому, что , т. е. последовательность , имеет предел 0, т.е. является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.

7. Теорема 6. (Свойства пределов) Пусть , , тогда , , , а если, кроме того, , , то .

8. Доказательство. Докажем в условиях теоремы формулу , т. е. мы докажем, что предел суммы последовательностей равен сумме их пределов, если каждый из пределов существует. Так как , то , где - б. м. Аналогично , где - б. м. Отсюда следует, что . В последней скобке сумма двух бесконечно малых величин есть величина б. м. Поэтому представляется в виде суммы и бесконечно малой величины . В силу теоремы 5 это означает, что . Первое утверждение теоремы доказана. Формула доказывается совершенно аналогично. Рассмотрим теперь формулу и используем для преобразования левой части те же обозначения. Поэтому …