Лекция 7. РЕШЕНИЕ ГЛАВНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Решение главной геодезической задачи заключается в определении геодезических координат, азимутов и длины линий на поверхности много эллипсоида.

Если на поверхности эллипсоида заданы

координаты B₁, L₁ какой-либо одной точки

∆L Q₁ , длина геодезической линии S и ее

начальный азимут А₁₂, то по этим

Q₁ A₁₂ S Q₂ данным можно определить координаты

A₂₁ конечной точки Q₂ линии B₂,L₂

изначение обратного азимута А₂₁.

Такую задачу называют прямой

геодезической задачей (ПГЗ).

Если на поверхности эллипсоида заданы координаты двух точек – Q₁ и Q₂ и требуется найти длину линии S, прямой и обратный азимуты в конечных точках – А₁₂ , А₂₁, то такую задачу называют обратной геодезической задачей (ОГЗ).

Прямая геодезическая задача широко применялась при вычислении геодезических координат пунктов триангуляции 1 класса.

Обратная задача используется при уравнивании геодезических сетей, для решения специальных задач, особенно при запуске ракет, ИСЗ, прокладке курса самолета или корабля.

Если для целей геодезии главные геодезические задачи применяют при расстояниях до 600 км (звено триангуляции 1 класса, радиогеодезические сети), то для некоторых специальных целей требуется решать задачи для расстояний до 20 000 км.

Наибольшие требования к точности решения геодезических задач предъявляет триангуляция 1 класса. Например, чтобы избежать накопления погрешностей при передаче азимутов, их вычисляют с погрешностью до 0,001”. А для того, чтобы обеспечить погрешность плановых координат до 1 см, их значения вычисляют до 1 мм. Это требует вычисление геодезических координат B и L до 0,0001”.

Чтобы ознакомиться с принципами решения геодезических задач на эллипсоиде, рассмотрим сначала решение задач на шаре. Очевидно, что в этом случае все сводится к решению полярного сферического треугольника.

Р Полярный геодезический треугольник с полюсом Р

Δλ φ и λ- географические широта и долгота

90⁰-φ₁ 90⁰-φ₂ σ – сферическое расстояние (длина дуги

большого круга)

α₁₂ α₂₁ α - азимут большого круга

Q₁ σ Q₂

При решении прямой задачи заданы координаты точки Q₁, расстояние

σ и азимут дуги α₁₂. В этом случае в треугольнике известными являются три его элемента: Q₁ Р = 90⁰-φ₁, угол Q₁ = α₁₂ и длина Q₁Q₂ = σ.

Используя формулы сферической тригонометрии, получаем три остальных его элемента, по которым находят неизвестные прямой задачи (φ₂ = 90⁰ - Q₂Р, λ₂ = λ₁ + Δλ и α₂₁ = 360⁰ – угол Q₂).

Для эллипсоида приходится использовать более сложные приемы вычисления.

Решение главных геодезических задач на поверхности эллипсоида сводится к интегрированию дифференциальных уравнений геодезической линии dS cosA = M dB,

dS sinA = N cosBdL,

dA = sinBdL,

записанных в виде:

cos A sin A sin A

dB = ---------- dS, dL = ----------dS, dA = -------- tg B Ds

M N cosB N