ТЕМА № 5. ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

Аксиоматическое построение теории аддитивных положительных скалярных величин. Понятие величины и измерение величин в начальном курсе математики. Зависимости между величинами.

Литература: [1] с. 331-334, [3] с. 265-293, [4] с. 108-120, [5] с. 167-175, [6] с.127-133.

ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

(задания I уровня)

1А. Верно ли, что: а) 20 см = 0,2 м; б) 45 мин. = час; в) 0,75 см²>0,6 дм²?

1Б. Если единицу измерения величины сначала увеличить в 3 раза, а затем уменьшить в 6 раз, то значение величины:

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 3 раза;

в) не изменится; г) увеличится в 2 раза.

2А. Верно ли, что: а) 12,5 м = км; б) 2 т 50 кг =2050 кг; в) 25 мин > час?

2Б. Единица измерения величины сначала уменьшилась в 4 раза, затем увеличилась в 6 раз. При этом численное значение измеряемой величины:

а) увеличилось в 2 раза; б) уменьшилось в 2 раза;

в) увеличилось в раза; г) уменьшилось в раза.

3А. Верно ли: а) 2 дм = 0,2 м; б) 36 км/ч = 10 м/с; в) 1,2 т < 120 ц?

3Б. Единица измерения величины сначала увеличилась в 4 раза, затем уменьшилась в 10 раз. Как изменилось при этом численное значение измеряемой величины:

а) увеличилось в 6 раз; б) увеличилось в 2,5 раза;

в) уменьшилось в 6 раз; г) уменьшилось в 2,5 раза.

4А. Верно ли, что: а) 325 мм=3 м 25 мм; б) 1,8 км/ч=30 м/мин; в) 1125г>1кг?

4Б. Единицу измерения величины сначала увеличили в 5 раз, затем еще увеличили в 6 раз. Как изменилось при этом численное значение измеряемой величины:

а) увеличилось в 30 раз; б) уменьшилось в 1 раз;

в) уменьшилось в 30 раз; г) не изменилось.

5А. Верно ли, что: а) 105 мм=1 дм 5 мм; б) 25ц = 2,5т; в) 90 мин > 5400 сек?

5Б. Единицу измерения величины сначала уменьшили в 60 раз, затем увеличили в 6 раз. При этом численное значение измеряемой величины:

а) уменьшилось в 10 раз; б) увеличилось в 10 раз;

в) увеличилось в 360 раз; г) уменьшилось в 360 раз.

0А. Верно ли, что: а) 95 дм = 9,5 м; б) 20 км/ч = 5 м/с; в) 20 мин 30 сек. = час?

Решение:

а) 1 дм = 0,1 м; 95 дм = 95 · 0,1 = 9,5 м – значение верно;

б) 1 км = 1000 м; 1ч = 3600 с;

20 км/ч = = - значение не неверно;

в) 1 сек = мин; 30 сек = ;

20 мин 30 сек = 20 мин + = 20 ;

1 час = 60 мин; - значение верно.

0Б. Единицу измерения величины сначала уменьшили в 5 раз, затем увеличили во столько же раз. Как изменилось при этом численное значение измеряемой величины:

а) увеличилось в 5 раз; б) уменьшилось в 5 раз;

в) увеличилось в 25 раз; г) не изменилось.

Решение:

Численное значение измеряемой величины не изменилось, т. к. при уменьшении единицы измерения величины в 5 раз, численное значение величины увеличилось в 5 раз, а при увеличении в 5 раз численное значение величины уменьшилось в 5 раз.

Ответ: г (не изменилось).

ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

(задания II уровня)

1А. Выразите в более мелких единицах: а) 3 га 2 м²; б) 40 км/ч; в) 17 сут 11 час; г) 3°24¢; д) 22 т 10ц 3 кг; е) 401 м³.

1Б. Выразите в более крупных единицах: а) 75000 мм²; б) 17902 см³; в) 7432 сек; г) 22 г; д) 36¢ 4²; е) 300 м/с.

2А. Выразите в более мелких единицах: а) 17 км² 25 га; б) 60 км/мин; в) 23 сут 20 мин; г) 45°25¢; д) 0,604 т; е) 10 м³ 3 дм³.

2Б. Выразите в более крупных единицах: а) 17040 см²; б) 23715 дм³; в) 12132 мин; г) 3112 г; д) 25¢ 11²; е) 70 м/с.

3А. Выразите в более мелких единицах: а) 2 км² 45000 м²; б) 76 км/ч; в) 3 сут 25 мин; г) 7°17¢; д) 123 ц 2 кг; е) 40 м³.

3Б. Выразите в более крупных единицах: а) 32 см²; б) 12300 мм³; в) 25 мин; г) 170 кг; д) 69¢ 2²; е) 11м/с.

4А. Выразите в более мелких единицах: а) 75 га 31 м²; б) 25 км/ч; в) 47 сут. 2 час.; г) 25°59¢; д) 17 т ц; е) 1 м³.

4Б. Выразите в более крупных единицах: а) 326 мм²; б) 117 дм³; в) 246 сек; г) 95 г; д) 15¢ 3²; е) 19 м/с.

5А. Выразите в более мелких единицах: а) 45 га 13 ар; б) 17 км/ч; в) 13 сут. 14 час.; г) ° 2¢; д) т 10 ц; е) 3 м³ 2 дм³.

5Б. Выразите в более крупных единицах: а) 86,5 м²; б) 253 см³; в) 19 мин; г) кг; д) 62¢ 11²; е) 27 м/с.

0А. Выразите в более мелких единицах: а) 0,2 га 30 м²; б) 23 км/ч; в) сут. 2 час; г) ° 30¢; д) 0,7 т 2 кг; е) 17 м³ 30 дм³.

Решение:

а) 1 га = 10000 м²; 0,2 га = 10000 · 0,2 = 2000 м²;

0,2 га 30 м² = 2000 м² + 30 м² = 2030 м².

б) 23 км/ч = м/с.

в) сут. = 12 час; сут. 2 час = 12 час + 2 час = 14 час.

г) 1° = 60¢; ° = · 60¢ = = 20 · 2 = 40¢;

°30¢ = 40¢ + 30¢ = 70¢.

д) 1 т = 1000 кг; 0,7 т = 0,7 · 1000 = 700 кг;

0,7 т 2 кг = 700 кг + 2 кг = 702 кг.

е) 1 м³ = 1000 дм³; 17 м³ = 17000 дм³;

17 м³ 30 дм³ = 17000 дм³ + 30 дм³ = 17030 дм³.

0Б. Выразите в более крупных единицах: а) 192 м²; б) 2174 мм³; в) 22 мин; г) кг; д) 46¢ 33²; е) 79 м/с.

Решение:

а) 1 км² = 1000000 м²; 192 м² = 0,000192 км².

б) 1 м³ = 1000000000 мм³; 2174 мм³ = 0,00002174 м³.

в) 1 мин = ; 22 мин = час = час.

г) 1 ц = 100 кг ; кг = ц.

д) 1′= °; 1″ = °; 46′33″ = 46 =(46 )′ ∙ = °.

е) 1 м =0, 001 км; 1с = час; 79 м/с = км/ч = 284,4 км/ч.

ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

(задания III уровня)

1А. Масштаб карты 1: 200000. Чему равно расстояние на местности, если на карте оно составляет 1 дм 5 см 2 мм? Ответ дайте в километрах.

1Б. Вычислите: а) 54 км/ч + 25 м/с = … м/мин; б) 1 га + км² = …ар; в) 27 см² + 2 дм² = … мм²; г) 5 ч 14 мин 24 сек. – 2 ч 24 мин 36 сек = … мин; д) 12 дм 8 см 9 мм ・8 =… .

2А. Норма посева льна 50 кг на гектар. Сколько потребуется семян льна, чтобы засеять прямоугольный участок земли, размеры которого на плане в масштабе 1:10000 равны 17 см ´ 5 см?

2Б. Вычислите: а) 15 км/ч + 15 м/с = … м/мин; б) 885 см² + 5,8 дм² = … мм²; в) 3 га + км² = …ар; г) 19 дм 8 см 7 м ・6 = … ; д) 17 ч 35 мин 24 сек : 3 = … .

3А. Масштаб карты 1:300000. Чему равно расстояние на местности, если на карте оно соответствует 1 дм 2 см 5 мм? Ответ дайте в км.

3Б. Вычислите: а) 9 км/ч + 10 м/с = … м/мин; б) 45 см² + 4,5 дм² = … мм²; в) 2 га + км² = …ар; г) 11 дм 7 см 8 мм ・5 = …; д) 11 ч 47 мин 36 сек : 3 = … .

4А. Длина реки составляет 328 км. Какова длина этой реки на карте, если масштаб карты 1:12000?

4Б. Вычислите: а) 18 км/ч + 45 м/с = … м/мин; б) 105 см² + 4,2 дм² = … мм²; в) 1 га + км² = …ар; г) 7 дм 2 см 4 мм ・9 =… ; д) 3 ч 12 мин 45 сек : 9 = ….

5А. Длина одного поля в масштабе 1:10000 показана отрезком в 4,5 см, длина другого поля в масштабе 1:15000 – отрезком в 3 см. Какое поле длиннее и на сколько?

5Б. Вычислите: а) 25 км/ч + 4 м/с = … м/мин; б) 12 см² + 45 дм² = … мм²; в) 3 га + км² = …ар; г) 3 ч 12 мин 10 сек – 1 ч 28 мин 34 сек = … мин; д) 17 дм 2 см 2 мм ・9 =… .

0А. Масштаб карты 1:250000. Чему равно расстояние на местности, если на карте оно составляет 1 дм 3 см 2 мм? Ответ дайте в км.

Решение:

1 дм = 100 мм; 3 см = 30 мм;

1 дм 3 см 2 мм = 100 мм + 30 мм + 2 мм = 132 мм.

Если 1 мм на карте соответствует 250000 мм на местности, то 132 мм на карте соответствует 250000 · 132 = 33125000 мм на местности.

1 км = 1000000 мм; 33125000 мм = 33,125 км.

Ответ: 33,125 км.

0Б. Вычислите: а) 17 км/ч + 6 м/с = … м/мин; б) 3 см² + 14 дм² = … мм²; в) 9 га + км² = …ар; г) 7 м 3 дм 6 см ・8 = …; д) 23 ч 12 мин 15 сек : 5 = … .

Решение:

а) 17 км/ч + 6 м/с = м/с + 6 м/с = м/с + 6 м/с = 10 м/с = = м/с = м/мин = 643 м/мин;

б) 3 см² + 14 дм² = 3 см² + 1400 см² = 1403 см² = 140300 мм²;

в) 9 га + км² = км² + км² = км² = ар = = ар = 966 ар;

г) 7 м 3 дм 6 см ・8 = 56 м 24 дм 48 см = 58 м 8 дм 8 см;

д) 23 ч 12 мин 15 сек : 5 = 2 ч + 2 мин + 3 сек = 4 ч 36 мин + 2 мин 24 сек + 3 сек = 4 ч 38 мин 27 сек.

ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

(задания IV уровня)

1А. Выполните указанные действия:

(20 м³ 50 дм³ – 9 м³ 458 дм³ 550 см³) : (5 м³ 408 дм³ 400 см³ : 1200);

1Б. Выполните указанные действия:

(8 ч 16 мин + 15 ч 46 мин) : 12 + (1 ч 15 мин 30 сек – 18 мин 40 сек) ・8;

2А. Выполните указанные действия:

(20 а 25 м² – 7 а 3 м² 9 дм² – 8 а 50 м² – 1 а 80 м² 79 дм²) : (14 а 28 м² 57 дм² – 11 а 98 м² 3 дм²);

2Б. Выполните указанные действия:

(27 т 400 кг ・75 – 23 т 800 кг ・5) : (80 кг 500 г – 20 кг 200 г) ・0, 25;

3А. Выполните указанные действия:

((25 м³ 50 дм³ – 14 м³ 458 дм³ 550 см³) : 5 м³ 408 дм³ 400 см³) : 1200;

3Б. Выполните указанные действия:

(6 сут 23 ч + 1 ч мин) ・2,5 – (5 ч 6 мин 35 сек + 19 ч 54 мин 25 сек);

4А. Выполните указанные действия:

((121 а 80 м² – 12 а 4 м² 54 дм²) – (90 а – 49 а 84 м² 74 дм²)) : (10 а 57 м² 14 дм² – 5 а 96 м² 6 дм²);

4Б. Выполните указанные действия:

(12,5 м – км : 1,25) : 10 м – (0,999 км 1 м – (0,1 м + 0,1 дм) : (101 км 200 м 17 см – 1002017 см);

5А. Выполните указанные действия:

((142 га 50 м² 3 дм² – 6 а 6 м² 21 дм²) – (17 а 60 м² – 4 а 21м² 58 дм²)) : 57 м² 63 дм² 50 см².

5Б. Выполните указанные действия:

((7 ч 43 мин 37 сек + 5 ч 37 мин 43 сек) + (4 сут 17 мин 23 сек – 44 ч)): 30 ч.

ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

(задания V уровня)

1. Решите задачу по действиям с объяснением:

Необходимо окрасить двухэтажный дом высотой 8 м, длиной 30 м и шириной 9 м. В доме 40 окон высотой 1 м 80 см и шириной 1 м 15 см, 6 дверей высотой 3 м и шириной 1 м. Чему равна площадь окраски? Сделайте чертеж.

2. Решите задачу по действиям с объяснением:

Сколько рулонов обоев требуется для оклейки комнаты длиной 6 м, шириной 4 м 50 см и высотой 3 м, если руной обоев имеет длину 12 м и полезную ширину 50 см? В комнате есть окно, ширина которого 1 м 50 см и высота 2 м, дверь шириной 1 м и высотой 2 м 25 см. Ответ дайте с точностью до 1. Сделайте чертеж.

3. Решите задачу по действиям с объяснением:

Сколько кирпича пойдет для постройки стен гаража толщиной 40 см и высотой 2 м 50 см, если внутренняя площадь гаража равна 3 м ´ 6 м; в короткой стене гаража – ворота высотой 2 м и шириной 2 м 80 см? В 1 м³ готовой стены 405 кирпичей. Ответ дайте с точностью до 100. Сделайте чертеж.

4. Решите задачу по действиям с объяснением:

Сколько рулонов рубероида длиной 20 м и шириной 1 м необходимо для покрытия крыши здания, если крыша имеет два одинаковых ската, каждый из которых 20м ´ 8 м? На шов между полосами идет 10 см (полосы рубероида укладываются на крыше параллельно коньку). Ответ дайте с точностью до 1. Сделайте чертеж.

5. Решите задачу по действиям с объяснением:

Сколько ведер цилиндрической формы можно изготовить из листа жести размером 1420 мм ´ 710 мм, если ведро имеет высоту 290 мм, длину окружности 660 мм, на боковой шов едет 5 мм с каждого края, на загиб края ведра сверху идет 10 мм, на шов по дну – 5 мм. Дно ведра имеет диаметр 210 мм и на шов по краю дна идет 10 мм. Сделайте чертеж.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин Н. Я. Математика / Н. Я. Виленкин, А. М. Пышкало, В. Б. Рождественская [и др.] – М. : Просвещение, 1977. – 352 с.

2. Задачник-практикум по математике. / Н. Я. Виленкин, Н. Н. Лав-рова [и др.] ; под ред. Н. Я. Виленкина. – М. : Просвещение, 1977. – 205 с.

3. Кожух І. Р. Матэматыка / І. Р. Кожух. – Мінск : Вышэйшая школа, 1993. – 350 с.

4. Кожух І. Р. Зборнік задач па матэматыцы: вучэб. дапам. для пед. ВНУ / І. Р. Кожух. – Мінск : Вышэйшая школа, 1994. – 162 с.

5. Лаврова Н. Н. Задачник-практикум по математике / Н. Н. Лаврова, Л. П. Стойлова. – М. : Просвещение, 1985. – 180 с.

6. Сендер А. Н. Методология формирования понятия о числе в начальном курсе математики / А. Н. Сендер. – Брест : БрГУ, 2003. – 164 с.

7. Стойлова Л. П. Математика: В 2 ч. / Л. П. Стойлова, Н. Я. Виленкин, Н. Н. Лаврова. – М. : Просвещение, 1990. Ч. 1. – 173 с.

Онискевич Татьяна Сергеевна

МАТЕМАТИКА