Основные правила Дифференцирования.
1. (u ± v)/ = u/ ± v/;
2. (C·u)/ = C·u/ (C = const);
3. (u·v)/ = u/·v + u·v/;
4.
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
32.Понятие дифференцируемой функции.Критерийдифференцируемости.Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции.
Критерий дифференцируемости: пусть функция f(x) определена в некотором интервале (а, b) и , тогда функция f(x) дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё в точке существует производная
Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.
При этом
| Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx, |
где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.
33.Дифференциал функции,его геометрический смысл.Свойство инвариантности формы первого дифференциала функции.Свойства дифференциалов.
Пусть функция у=f(x) дифференцируема в т. х0,тогда её приращение в этой точке можно записать ввиде:
Первое слагаемое в правой части данного равенства линейное относительно называется главной частью приращения функции в т. х0.
Дифференциалом функции у=f(x) в т. х0 называют главную часть приращения этой функции в т.х0.
dy-дифференциал
В качестве dy аргумента можно выбрать любое число(функцию) не зависящую от Х.dx= ,тогда dy функции: dy=
Свойства инвариантности(неизменчивости) формы 1-го дифференциала.
Пусть функция y=f(x) является дифференцируемой функцией,тогда её 1 дифференциал определяется по формуле: dy= ,как в случае,когда х является независимой переменной,так и в случае,когда х является зависимой переменной,т.е.функцией.
Х=
Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.
Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.
Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:
d(u+v)=du + dv
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны
d(u+c) = du (c= const).
Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:
d(uv) = udv + vdu.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
d(cu) = cdu (с = const).
Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой
Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.
Свойства дифференциалов
Выражение производной через дифференциалы:
где индекс "х" при y' показывает, что производная берется по аргументу х. В то же время дифференциалы dy и dx можно брать по любому аргументу.
Выражение дифференциала через производную:
Используя его, можно записать свойства дифференциалов, используя свойства производной.
1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала:
2. дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций
3. дифференциал произведения
4. дифференциал дроби (дифференциал частного)
5. дифференциал сложной функции
где d g(x), в свою очередь, можно дифференцировать дальше.
34.Производные и дифференциалы высших порядков,ихсвойства.Механический смысл второй производной.
Пусть функция f(x) является дифференцируемой функцией и = имеет производную,тогда производная от первой производной газывается 2-ой производной функции f(x) и обозначается:
y``,f``(x), , ,то есть по определению 2-ая производная есть производная от 1-ой производной:f``(x)=(f`(x))`
Точно так же может быть определенн дифференциал 1-го порядка,т.е. Диф. 2-го порядка есть диф. От 1-го порядка:
Аналогично дифференциал n-ого порядка
Механический смысл первой производной
Если S=S(t)-закон прямолинейного движения материальной точки, то производная S/ (t) выражает значение скорости движения точки в момент времени t( мгновенную скорость). V(t)= S/ (t).
Механический смысл второй производной.
Если S=S(t)-закон прямолинейного движения материальной точки, то вторая производная S/ / (t) выражает значение изменения скорости этого движения, т.е. значение ускорения будет составлять а(t)= S/ / (t).