Непрерывность функции в точке.
Функция y=f(x) называется непрерывной в т. Х0,если предел при х->x0 f(x)=f(x0).
Данное определение эквивалентно выполнению следующих 3 условий
Величина -скачок функции.
| Свойства непрерывных функций (Св-ва ф-ий непрерывных точек) |
29.Непрерывность функции на отрезке.Свойства функций непрервных на отрезке.
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ,а в точке х=bнепрерывна слева(т.е.
(Теорема Вейерштрасса)
Теорема (Больцано-Коши)
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
30.Приращение Функции и аргумента функции в данной точке.Понятие производной функции,её геометрический и механический смысл.Уравнение касательной и нормали к графику функции.
Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х - х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается х. Таким образом, х = х - х0, откуда следует, что х = х0 + х.
Говорят также, что первоначальное значение аргумента х0 получило приращение х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) - f(x0) = f(х0 + х) – f(x0).
Эта разность называется приращением функции f в точке х0, соответствующим приращению х, и обозначается f, т. е. по определению
f = f (х0+ х) – f(x0), откуда f (х0 + х) = f(x0) + f.
1)х1,х2
2)
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
31.Основные правила дифференцирования.Производные некоторых элементарных функций(их нахождение на основе определения).Таблица производных.
Понятие дифференцируемости ф-ии в данной точке.Связь между дифференируемостью и непрерывностью ф-ии в точке.
Функция y=f(x)-называется дифференцируемой в т х0,если приращение этой ф-ии в т. Х0 может быть представлено ввиде:
А-некоторое число(ф-ия),независящее от
Теорема 1. Для того,чтобы ф-ия у=f(x) являлась дифференцируемой в данной т.х0 необходимо и достаточно,чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Доказательство:= (докажем необходимость)
Пусть ф-ия у=f(x)-дифференцируема в т. х0,тогда её приращение в этой точке можно записать ввиде:
Пусть тогда
(
Пусть ф-ия имеет производную в т. х0,т.е. или
По теореме о связи ф-ии,имеющей предел с её пределом и б.м.ф можем записать:
=
Теорема 2.
Если ф-ия у=f(x) дифференцируема в данной т.х0,то она и непрерывна в этой точке.
Замечание!Утверждение обратное теореме 2 неверно,т.е. из непрерывности ф-ии в точке не следует её дифференцируемость в этой точке.