Решение типовых задач контрольной
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ, ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Для студентов экономического факультета
Заочной формы обучения на базе среднего образования
Контрольная работа должна быть выполнена в ученической тетради, на внешней обложке которой следует указать название контрольной работы, фамилию и инициалы студента, полный учебный шифр, место учебы.
Перед решением задач необходимо записывать их условия. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью. Для замечаний преподавателя нужно оставлять поля.
Вариант контрольной работы устанавливается согласно последней цифре зачетной книжки (шифра).
Если вариант, к примеру, 8, необходимо решать в контрольной работе задачи с номерами 8, 18 и т.д. Контрольная работа должна быть представлена для проверки не позднее двух недель до начала экзаменационной сессии.
К экзамену студент допускается лишь в случае, если его контрольная работа зачтена.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
а) основная литература:
1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. - 479 с.
2. Математика и информатика. Учебное пособие / В.Б. Уткин, К.В. Балдин, А.В. Рукосуев. - 4-e изд. - М.: Дашков и К, 2011. - 472 с.
б) дополнительная литература:
3. Кремер Н.Ш. и др. Исследование операций в экономике – М.: Банки и биржи, 2006.
4. Матрицы и системы линейных уравнений: методические указания и задания для самостоятельной работы / Воронежский филиал РРГТЭУ, каф. математики и ЕНД; [сост.: В,Н. Ястребков, И.М. Голев.] – Воронеж, Воронежский ф-л РГТЭУ, 2010. – 55 с.
5. Поленов В.С., Галкин Г.И., Дольский С.В., Черная Ю.В. Сборник заданий по математике для экономических ВУЗов (Аналитическая геометрия). Учебно-методическое пособие для студентов первого курса всех форм обучения всех специальностей. - Воронеж: Воронежский филиал ГОУ ВПО «РГТЭУ», 2006. - 43 с.
6. Щипачев В.С. Курс высшей математики. – М.: Оникс, 2007.
7. Высшая математика. Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев; Российская академия образования (РАО). – М.: Флинта: МПСИ, 2010.
8. Математика в примерах и задачах. Учебное пособие / Л.Н. Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, О.М. Дягтерева. – М.: Инфра-М, 2010.
9. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум /Под ред. Н.Ш. Кремера.- 4-е изд., перераб. и доп.- М.: Юрайт, ИД Юрайт, 2012.- 909 с. ISBN 978-5-9919-1526-6(Юрайт). ISBN 978-5-9692-1251-0(ИД Юрайт). ЧЗ
10. Орлова И.В., Полковников В.А. Экономико-математические методы и модели. – М.: ВУЗ, учебник: ИНФРА-М, 2010.
в) программное обеспечение:
1. MS Windows.
2. MS Office.
3. Поисковые системы «Яндекс», «Google» для доступа к тематическим онлайн-калькуляторам.
г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
1.Электронно-библиотечная система Znanium: http://znanium.com
2. Научная электронная библиотека ГПНТБ России: http://ellib.gpntb.ru
3. Электронная библиотека «Гумер»: http://www.gumer.info
4. Поисковые системы «Яндекс», «Google» для доступа к тематическим информационным ресурсам.
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
В ЗАДАЧАХ 1-10 вычислить определитель: а) разложением по первой строке; б) по правилу треугольника; в) с помощью элементарных преобразований.
1. ![]() | 2. ![]() | 3. ![]() | 4. ![]() | 5. ![]() | ||||
6. ![]() | 7. ![]() | 8. ![]() | 9. ![]() | 10. ![]() | ||||
ЗАДАЧАХ 11-20решить систему уравнений: а) с помощью формул Крамера; б) методом Гаусса
21. ![]() | 22. ![]() | 23. ![]() | |
24. ![]() | 25. ![]() | 26. ![]() | |
27. ![]() | 28. ![]() | 29. ![]() | |
30. ![]() |
В ЗАДАЧАХ 21-30даны координаты вершин треугольника . Найти:
1) длины сторон треугольника;
3) уравнение прямых, описывающих стороны треугольника
Построить заданный треугольник и все линии на координатной плоскости.
А | х1 | -14 | -11 | -15 | -13 | -10 | -12 | -14 | -16 | -17 | -18 |
у1 | -7 | -13 | -16 | -15 | -12 | -9 | -10 | -11 | -11 | -11 | |
В | х2 | -7 | -4 | -8 | -6 | -3 | -5 | -7 | -9 | -10 | -11 |
у2 | |||||||||||
С | х3 | -1 | -2 | ||||||||
у3 | -1 | -4 | -3 |
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 1–10
Задача. Вычислить определитель 1) разложением по первой строке; 2) по правилу треугольника; 3) с использованием элементарных преобразований.
Решение. 1) Воспользуемся формулой
.
В нашем случае
.
2) Правило треугольника имеет вид
.
Применяя это правило для вычисления заданного определителя, получаем
.
3) Получим с помощью тождественных преобразований из исходного определителя новый, который содержит два нулевых элемента, например, в первом столбце. Для этого сначала умножим первую строку заданного определителя на и результат прибавим ко второй строке определителя. Затем умножим первую строку исходного определителя на
и результат прибавим к третьей его строке. В результате получим следующий определитель, равный данному:
. Теперь находим значение полученного (а значит, и исходного) определителя с помощью его разложения по элементам первого столбца:
=
.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 11-20
Задача.Пусть ,
,
.Требуется решить уравнения 1)
, 2)
, 3)
.
Решение.1)Вычислим определитель матрицы А:
.
Так как , то обратная матрица
существует.
Умножим матричное уравнение на слева и проведем преобразования с учетом свойств матричных операций:
,
.
В результате получаем
.
Находим обратную матрицу по формуле , где
– присоединенная матрица. Для этого вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы A:
,
,
,
. Таким образом,
, т.е.
.
Теперь вычисляем искомую матрицу (решение рассматриваемого матричного уравнения):
.
Выполняем проверку:
.
Проверка дала верное равенство, т.е. уравнение решено правильно.
2) Умножим матричное уравнение на справа и проведем преобразования с учетом свойств матричных операций:
,
.
В результате получаем формулу
.
Так как , то
.
Выполняем проверку:
.
Вывод: уравнение решено верно.
3) Умножаем сначала матричное уравнение на слева, а затем полученный результат – на
справа. В результате искомое решение уравнения выражается формулой
.
Ищем :
;
;
.
Теперь имеем
.
Остается осуществить проверку правильности полученного результата (сделайте это сами).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПА 21–30
Задача1. Требуется, используя формулы Крамера, решить систему
Решение.Подсчитаем сначала главный определитель системы , воспользовавшись его разложением по элементам первой строки:
.
У нас
Так как , делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители
:
Далее, используя формулами Крамера, окончательно получаем:
Осуществим проверку правильности решения, подставив его в левую часть каждого уравнения заданной системы:
Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения
Задача 2.Решим систему уравнений из задачи 1 методом Гаусса последовательного исключения неизвестных.
1) Сначала умножим первое уравнение системы на и результат сложим со вторым уравнением системы. Затем первое уравнение системы умножим на (–3) и результат сложим с третьим ее уравнением. В результате указанных тождественных преобразований система примет вид, в котором лишь первое уравнение будет содержать неизвестную величину x:
2) Займемся исключением неизвестной y из третьего уравнения последней системы. Для этого умножим второе ее уравнение на и сложим полученный результат с третьим уравнением. В результате получим новую систему, равносильную заданной:
Теперь из третьего уравнения получаем , затем из второго –
и наконец из первого –
. Система решена.
Задача 3. Cистему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.
Решение. Обозначим через матрицу коэффициентов при неизвестных, через
– матрицу-столбец неизвестных
, а через
– матрицу-столбец свободных членов:
,
,
.
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:
. (1)
Если матрица невырожденная, т.е. её определитель
отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу
. Умножив обе части уравнения (1) слева на
, получим
,
т.е.
. (2)
Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений (1) необходимо вычислить обратную матрицу
.
Пусть имеем невырожденную матрицу
.
Тогда обратная матрица определяется по формуле
,
где (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента
в определителе матрицы
, которое является произведением
на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки j-го столбца в определителе матрицы
.
Вычислим определитель и алгебраические дополнения его элементов:
, следовательно, матрица
имеет обратную матрицу
;
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Отсюда
.
По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:
Отсюда имеем ,
,
.
Остается сделать проверку, которую предлагаем сделать читателю самостоятельно.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 31–40
Задача.Даны координаты вершин треугольника :
Требуется найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и
, их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол при вершине
в радианах с точностью до 0,01;
4) уравнение медианы ;
5) уравнение и длину высоты ;
6) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой
и точку
ее пересечения с высотой
;
7) уравнение окружности с центром в точке , проходящей через вершину
.