Детерминированные процессы

Детерминированные периодические процессы подразделяются на гармонические и полигармонические. Гармоническими называют процессы, которые могут быть описаны функцией

(5.2)

где X_m – амплитуда;

f₀ – циклическая частота, измеряемая в циклах в единицу времени;

q – начальная фаза, рад.

Соотношение (5.2) может быть представлено графически в функции времени и в амплитудно-частотном изображении (спектре), как показано на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Гармонический процесс и его спектр

Циклическая частота , где T – период гармонических колебаний.

Полигармонические процессы описываются функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы:

(5.3)

Число циклов в единицу времени называется основной частотой f₁.

Полигармонический процесс может быть представлен рядом Фурье

(5.4)

где ;

Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:

(5.5)

где

Как видно из (5.5), полигармонические процессы состоят из постоянной составляющей X₀ и бесконечного числа синусоидальных составляющих, называемых гармониками, с амплитудами X_i и начальными фазами q_i. Частоты всех гармоник кратны основной частоте f₁.

Полигармонический процесс может имеет вид, показанный на рис. 5.5, а, и соответствующий формуле (5.5) дискретный спектр, показанный на рис. 5.5, б.

Рис. 5.5. Полигармонический процесс и его спектр

В других случаях составляющая с основной частотой может отсутствовать. Предположим, например, что периодический процесс формируется в результате сложения трех синусоидальных функций с частотами 60, 75 и 100 Гц. Наибольший общий делитель этих чисел равен 5 Гц, поэтому период результирующего периодического процесса составляет 0,2 с. Следовательно, при разложении в ряд Фурье значения X_i будут равны нулю при всех i, кроме i = 12, i = 15, i = 20.

Физические процессы полигармонического типа встречаются гораздо чаще простых гармонических процессов. В действительности, когда тот или иной процесс относят к типу гармонических, то зачастую при этом имеют в виду только приближенное представление процесса, который на самом деле является полигармоническим. Например, напряжение на выходе генератора переменного тока содержит небольшие колебания с частотами высших гармоник.

Однако процессы, образованные при суммировании двух или более гармонических функций с произвольными частотами, не будут, вообще говоря, периодическими. Сумма двух или более синусоидальных функций образует периодический процесс только в том случае, если отношение всех возможных пар частот представляет собой рациональные числа. Это означает, что существует некоторый основной период, удовлетворяющий формуле (5.3). Так, процесс

(5.6)

является периодическим, поскольку 2/3, 3/7 и 2/7 – рациональные числа (с основным периодом, равным единице). С другой стороны, процесс

(5.7)

не является периодическим, поскольку числа иррациональные и основной период равен бесконечности. В этом случае процесс является почти периодическим, но соотношение (5.3) не удовлетворяется при любых конечных значениях T.

Таким образом, к почти периодическим относятся такие процессы, которые могут быть описаны функцией времени:

, (5.8)

имеющей хотя бы одно отношение f_i / f_j, которое не является рациональным числом.

Дискретный спектр почти периодического процесса аналогичен спектру полигармонического процесса.

К переходным относятся все непериодические процессы, не являющиеся почти периодическими процессами, описанными выше. Другими словами, переходные процессы включают в себя все не рассмотренные ранее процессы, которые могут быть описаны подходящими функциями времени. Три примера распространенных переходных процессов приведены на рис. 5.6.

		а
		б
		в

Рис. 5.6. Примеры переходных процессов

Физические переходные процессы весьма многочисленны и разнообразны. Например, процесс, изображенный на рис. 5.6, а, может описывать изменение во времени температуры проводника после отключения протекавшего по нему тока. Кривая на рис. 5.6, б может характеризовать свободные колебания инерционной механической системы после прекращения действия вынуждающей силы. График

а б в

Рис. 5.7. Спектры переходных процессов

на рис. 5.6, в может описывать изменение во времени механического напряжения в тросе, который подвешен на опорах линии электропередачи и разрывается в момент c.

Важное отличие переходных процессов от периодических и почти периодических состоит в том, что их невозможно представить с помощью дискретного спектра. Однако в большинстве случаев получают непрерывное спектральное представление переходных процессов, используя интеграл Фурье

Спектр Фурье X(f) в общем случае является комплексной функцией, которая может быть записана в показательной форме:

. (5.9)

Здесь - модуль, а q(f) – аргумент. Модули преобразования Фурье трех переходных процессов, изображенных на рис. 5.6, показаны на рис. 5.7.

Случайные процессы

Функция X(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной. Случайные функции времени называют случайными процессами.

Реализацией случайной функции X(t) (выборочной функцией) называется конкретный вид, который она принимает в результате опыта. Реализация случайного процесса может рассматриваться как элемент множества возможных физических реализаций случайного процесса (рис. 5.8). Совокупность реализаций случайного процесса называется ансамблем реализаций. Совокупность значений реализаций в фиксированный момент времени (выборка случайных значений) называется сечением случайного процесса.

Рис. 5.8. Реализации случайного процесса

В любом сечении случайный процесс есть случайная величина.

Математическое ожидание случайного процесса есть функция времени

(5.10)

Второй центральный момент для двух сечений случайного процесса называется ковариационной функцией

(5.11)

где – центрированный случайный процесс.

При t = t′ ковариационная функция равна дисперсии случайного процесса

(5.12)

Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса могут быть найдены по реализациям случайного процесса – осреднением по реализациям:

(5.13)

где N – число реализаций случайного процесса.

Если математическое ожидание и ковариационная функция не зависят от времени t, то процесс является стационарным:

(5.14)

где τ = t′ – t. В (5.14) ковариационная функция зависит только от величины τ, а не от места его расположения на оси времени (рис. 5.9).

Рис. 5.9. Время между двумя сечениями случайного процесса

Возможный вид ковариационной функции показан на рис. 5.10.

Во многих случаях используется нормированная ковариационная (или корреляционная) функция. Для стационарного случайного процесса

(5.15)

Величина корреляционной функции |r_X(t)| ≤ 1.

Возможно осреднение по времени отдельных выборочных функций (реализаций). Для k-й выборочной функции имеем:

(5.16)

Рис.5.10. Ковариационная функция случайного процесса

Если случайный процесс X(t) стационарен и характеристики m_X и R_X(τ) одинаковы для различных выборочных функций, то такой процесс называют эргодическим.

Эргодические процессы представляют важный класс случайных процессов.

Нестационарными случайными процессами являются все случайные процессы, не обладающие свойствами стационарности. Эти процессы сложны в исследованиях, и зачастую в задачах по анализу их разбивают на интервалы стационарности или приближенно аппроксимируют стационарными процессами.