Страхование на чистое дожитие

Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах: страхование сумм (капитала) и страхование рент (аннуитетов). В первом случае при наступлении страхового события (смерти или дожития) выплачивается единовременно определенная сумма денег, во втором случае – страховщик производит регулярные выплаты в течение определенного периода времени или пожизненно. В классическом страховании жизни имеют место только два страховых события: дожитие до определенного срока и смерть в период действия договора.

Ожидаемая текущая стоимость выплат

Наиболее простым вариантом является страхование на чистое дожитие, которое заключается в страховании определенной суммы денег на определенный срок. В случае смерти страхователя в период действия договора страховая сумма не выплачивается, и взносы не возвращаются.

Определим текущую стоимость страховых выплат на момент заключения договора страхования. Пусть группа страхователей численностью в возрасте заключила со страховщиком договор страхования на дожитие сроком на лет. Дожившие до окончания срока страхования должны получить страховую сумму . Очевидно, что суммарная выплата, которую должен осуществить страховщик по окончании срока договора, равняется числу доживших до возраста , умноженному на страховую сумму: , где – коэффициент дисконтирования, – годовая процентная ставка, или годовая норма доходности. В расчете на каждого страхователя, заключившего договор, это составляет величину

. (1)

Таким образом, получили величину единовременного взноса, который должен заплатить каждый страхователь при заключении договора.

Этот же результат можно получить другим путем, рассчитывая накопленную стоимость фонда, сформированного взносами страхователей в момент заключения договора. Если каждый страхователь в возрасте внес взнос , то первоначальная стоимость фонда равна . Множитель наращения за лет равен . К моменту окончания договора накопленная стоимость этого фонда составит . Приравнивая эту величину к сумме страховых выплат , получим формулу (1).

Если сравнить формулу (1) с формулой (приращение начальной суммы при непрерывной капитализации процентов), то видно, что она отличается наличием множителя – вероятностью дожития до возраста лица, застрахованного в возрасте . Эта величина всегда меньше единицы, поэтому нетто-взнос каждого застрахованного будет меньше текущей стоимости единичной страховой суммы. Причина этого заключается в том, что часть застрахованных, уплативших взносы, не доживает до конца срока страхования, и их взносы перераспределяются между оставшимися в живых. С учетом этого обстоятельства взнос каждого из них уменьшается на соответствующую величину. Величину в правой части формулы (1) называют актуарной текущей стоимостью страховой суммы или ожидаемой текущей стоимостью.

Прибыль от смертности

Перераспределение взносов умерших в пользу доживших дает дополнительную прибыль от смертности. Определим годовую норму доходности с учетом прибыли от смертности. Если в начале года величина страхового фонда составляет , численность застрахованных – , величина индивидуального страхового фонда (в расчете на одного застрахованного) – , то в конце года величина страхового фонда увеличится за счет процентного роста до значения , численность застрахованных уменьшится на величину , а величина индивидуального страхового фонда станет равной . Годовая норма доходности для возраста будет равна

. (2)

Эта норма доходности называется актуарной годовой нормой доходности (однако термин не является общепринятым). Из формулы (2) видно, что при невысокой процентной ставке актуарная годовая норма доходности может оказаться заметно выше ее. Так при страховании жизни в странах с развитой экономикой величина процентной ставки обычно составляет 4-5%, тогда как вероятность смерти в течение года, согласно таблице смертности, составляет для мужчин в возрасте 50 лет 2,2%, в возрасте 60 лет – 4,3%. Для актуарной нормы доходности можно ввести также актуарный годовой множитель наращения и актуарный годовой дисконтный множитель:

(3)

Формулу (1) можно получить, осуществляя дисконтирование суммы с актуарным дисконтным множителем (что эквивалентно дисконтированию с переменной процентной ставкой):

(4)

Годовая процентная ставка, используемая в расчетах по страхованию жизни, называется технической процентной ставкой или техническим процентом. Технический процент выбирается страховщиком в таком размере, чтобы при самых неблагоприятных обстоятельствах обеспечить выбранную доходность инвестиций. Обычно величина технического процента ниже той фактической нормы доходности, которую получает страховщик.

Поскольку динамика приращения капитала и демографические процессы никак не зависят от величины страховой суммы, в актуарной математике принято производить все расчеты для страховой суммы, равной единице. Величину страхового взноса с единицы страховой суммы называют тарифной ставкойили тарифом. Для любой конкретной страховой суммы величину страхового взноса легко получить, умножая тарифную ставку на эту сумму.

Для обеспечения единого подхода к решению актуарных задач по страхованию жизни в 1898 г. на втором Международном конгрессе актуариев в Лондоне были приняты единые актуарные обозначения. Для обозначения различного рода единовременных платежей используется заглавная буква , для регулярных периодических платежей – строчная буква . При страховании на чистое дожитие ожидаемая текущая стоимость страховых выплат в расчете на одного страхователя со страховой суммы, равной единице, обозначается следующим образом:

. (5)

Формула (5) определяет ожидаемую текущую стоимость единичной суммы, т.е. является актуарным дисконтным множителем за лет в соответствии с формулой (4). Эта величина имеет свойство

– актуарное дисконтирование на срок лет от возраста до возраста эквивалентно последовательному актуарному дисконтированию сначала на лет от возраста до возраста , а затем еще на лет до возраста .

Коммутационные функции

Для упрощения актуарных расчетов часто используют так называемые коммутационные функции, для которых составлены таблицы. Функция, используемая в страховании на дожитие

. (6)

Ее смысл – если при рождении группы детей численностью их страхуют на дожитие с условием выплаты единичной страховой суммы по достижению возраста , то формула (6) дает ожидаемую текущую стоимость суммы страховых выплат, т.е. суммарную страховую премию. С помощью коммутационной функции формулу (5) можно представить в виде

. (7)

Страхование рент

Во многих случаях более предпочтительным для страхователей является не получение единовременной выплаты, а регулярный доход в течение определенного периода или пожизненно. Регулярные выплаты через равные промежутки времени называют страховой рентойили аннуитетом. Часто термин «аннуитет» относят только к последовательности платежей с ограниченным сроком. Страховая рента отличается от обычной финансовой ренты тем, что выплачивается только при условии, что ее получатель жив, т.е. является условной рентой.

Обыкновенная пожизненная рента.

Наиболее распространенным видом страховой ренты является обыкновенная пожизненная рента, которая выплачивается в конце каждого года дожития в течение всей жизни застрахованного. Так как платежи осуществляются в конце каждого временного периода, то обыкновенную ренту называют еще рентой постнумерандо. Начиная с некоторого момента человек раз в год в конце года начинает получать определенную сумму (которую обычно принимают в качестве условной денежной единицы). Выплаты производятся только во время жизни человека.

Определим ожидаемую текущую стоимость ренты на начало контракта, а также на начало каждого года в течение срока действия контракта.

Пусть лиц в возрасте заключают договор страхования, предусматривающий регулярные выплаты размером в единицу в конце каждого года пожизненно. Тогда в конце первого года страховщик выплатит сумму , в конце второго года – и т.д. до тех пор, пока будет жив хотя бы один страхователь. Последняя выплата будет осуществлена лицам в возрасте . Текущая стоимость страховых выплат на момент заключения договора составит соответственно

Суммарная текущая стоимость всех выплат ренты

. (1)

В расчете на одного страхователя, заключившего договор в возрасте , это составит

. (2)

Формула (2) определяет ожидаемую текущую стоимость пожизненной ренты с выплатами в конце каждого года, равными единице, для страхователя в возрасте . Очевидно, что величина единовременного взноса, который должен заплатить каждый страхователь при заключении договора равна . Взносы по страховой ренте собираются со всех, выплаты же производятся только дожившим до сроков ее выплаты, на это показывает множитель . Поскольку взносы умерших перераспределяются в пользу оставшихся в живых, то при равной величине выплат стоимость страховой ренты всегда ниже стоимости финансовой ренты.

Формулу (2) можно также получить, представив контракт по страхованию ренты в виде совокупности контрактов на дожитие с единичной страховой суммой сроком на 1, 2, 3, года и т.д. Тогда ожидаемая текущая стоимость выплат рент равна сумме ожидаемых текущих стоимостей выплат по соответствующим контрактам на дожитие

. (3)

Приведенная пожизненная рента

Наряду с обыкновенной рентой часто используется приведенная рентаили пренумерандо, когда платежи осуществляются в начале каждого временного периода. Начиная с некоторого момента человек раз в год начинает получать определенную сумму (которую обычно принимают в качестве условной денежной единицы). Выплаты производятся только во время жизни человека.

Ожидаемая текущая стоимость ренты пренумерандо вычисляется так же, как и для ренты постнумерандо:

. (4)

Приведенные ренты широко используются при расчете страховых взносов, уплачиваемых в рассрочку. Сравнивая формулы (3) и (4) видим

(5)

Коммутационные функции

Для упрощения актуарных расчетов по страхованию ренты используют следующую коммутационную функцию

. (6)

Смысл этой функции следующий: если при рождении группы детей численностью заключается договор страхования с условием пожизненной выплаты ренты размером в единицу в начале каждого года начиная с возраста , то формула (6) дает текущую стоимость страховых выплат или суммарную величину единовременного страхового взноса. С помощью коммутационной функции формулы (3) и (4) примут вид:

,

.

Срочные ренты

Если выплата ренты ограничена определенным сроком, например лет, то рента называется срочной.

Пусть – настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента – лет. Обыкновенная срочная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год в конце года пожизненно, начиная с момента , но не более, чем лет.

Стоимость обыкновенной срочной ренты

.

Пусть – настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента – лет. Приведенная срочная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год пожизненно, начиная с момента , но не более, чем лет. Таким образом, если человек проживет еще лет (т.е. если ), то производится ровно выплат в начале каждого года; если же , то производится выплат.

Стоимость приведенной срочной ренты

.

Отложенные ренты

Рассмотренные выше ренты называются немедленными, так как срок их действия начинается сразу после заключения контракта. Срок действия отложенных(или отсроченных) рент запаздывает относительно этого момента на период отсрочки.

Пусть – настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента – лет. Отложенная на лет обыкновенная пожизненная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год, начиная с момента , до тех пор, пока человек жив. Однако если человек умрет до момента , то ни одной выплаты не производится.

Стоимость отложенной на лет пожизненной ренты постнумерандо

.

Пусть – настоящий момент, а возраст человека, которому выплачивается рента – лет. Отложенная на лет приведенная пожизненная рента определяется как серия выплат единичной суммы, производимых раз в год, начиная с момента , до тех пор, пока человек жив. Однако если человек умрет до момента , то ни одной выплаты не производится.

Стоимость отложенной пожизненной ренты пренумерандо

.

Отложенная срочная рента постнумерандо

.

Отложенная срочная рента пренумерандо

.

Страхование жизни

Наряду со страхованием на дожитие весьма популярным (и гораздо более дешевым) является страхование жизни, когда страховая выплата осуществляется в случае смерти застрахованного. Страхование жизни имеет две основные формы: а) пожизненное страхование; б) страхование на срок, когда страховая сумма выплачивается только в том случае, если застрахованный умрет, не дожив до срока окончания договора.

Пожизненное страхование

Пусть лиц возраста заключили договор на пожизненное страхование. Спустя год после заключения договора в живых останутся только лиц, а умрут в течение года. Будем считать для простоты, что страховые выплаты осуществляются в конце года смерти застрахованного. Тогда текущая стоимость выплат первого года страхования будет равна , второго года – , третьего года – и т.д. (расчеты также производятся для единичной суммы).

Текущая стоимость страховых выплат по всем договорам составляет

. (1)

В расчете на один договор страхования получим

. (2)

Формула (2) определяет текущую стоимость пожизненного страхования с выплатой в конце года смерти. Перепишем формулу (2), учитывая , тогда

. (2а)

Из формулы (2а) видно, что вклад выплат за год страхования в стоимость полиса по страхованию жизни равен текущей стоимости выплат, умноженной на вероятность умереть в течение -го года, которая в свою очередь равна вероятности дожить до начала этого года, умноженной на вероятность смерти в течение года.

Страхование жизни на срок

При страховании жизни на срок ( лет) ожидаемая текущая стоимость выплат будет

. (3)

Изобразим графически схему страхования жизни сроком на 3 года.

В момент времени страховщик получает взнос в размере в расчете на одного застрахованного, затем в течение периода от 0 до 1 года происходит приращение этой суммы ( в силу начисления процентов) , затем в момент времени производится первая выплата (по смертям произошедшим в течение первого года), затем в течение периода от 1- го до 2-го года происходит наращивание оставшейся суммы, затем в момент производится вторая выплата, после чего остаток нарастает к моменту времени , в который и производится последняя выплата, полностью исчерпывающая остаток средств.

Коммутационные функции

Для упрощения расчетов по страхованию жизни вводятся следующие коммутационные функции:

, (4)

. (5)

Тогда формулы (2) и (3) можно переписать в следующем виде:

(6)

Страхование с выплатой в момент смерти

До сих пор было рассмотрено страхование, при котором страховые выплаты осуществлялись в конце года смерти застрахованного. На практике, как правило, договор страхования предусматривает выплату страховой суммы сразу после установления факта смерти. Поэтому при вычислении текущей стоимости страховой выплаты следует осуществлять дисконтирование от момента смерти, а не от конца года, что реализуется заменой: , где – интервал времени от начала -го года страхования до момента смерти (в долях года).

Более сложная задача – вычисление ожидаемого количества смертей в течение года. Дело в том, что таблицы смертности дают информацию об общем количестве смертей за год, не детализируя их распределение по месяцам или неделям года. Поэтому для вычисления количества смертей в определенном временном интервале внутри года необходимо принять какую-либо гипотезу о характере этого распределения. Наиболее простым и естественным является предположение о равномерном распределении смертей внутри года. Если разбить -й год страхования на равных интервалов времени длительностью , то количество смертей за любой интервал времени составит . Будем считать, что все выплаты по страховым случаям, происшедшим в соответствующем временном интервале, осуществляются в конце этого интервала, т.е. совокупность страховых выплат представляет собой -срочную ренту постнумерандо. Тогда ожидаемая текущая стоимость страховых выплат за этот год составит

. (7)

(при выводе формулы (7) использовали формулу для суммы геометрической прогрессии)

Переходя ко все более и более коротким интервалам времени ( ), получим

.

В результате текущая стоимость страховых выплат за год равна:

.

Ожидаема текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых в момент смерти, для пожизненного страхования ( ) равна:

. (8)

В актуарной математике обозначения с чертой сверху относятся к непрерывным выплатам. В данном случае страховые выплаты происходят достаточно часто, т.е. практически непрерывно в течение каждого года страхования. Формула (8) отличается от соответствующей формулы (2) для страхования с выплатой в конце года смерти наличием дополнительного множителя. Величина этого множителя при небольших значениях годовой процентной ставки определяется приближенной формулой

.

Аналогичным образом для стоимости срочного контракта по страхованию жизни сроком на лет вместо формулы (3) получим

. (9)

Изобразим графически зависимость ожидаемой текущей стоимости от времени для страхования жизни сроком на 3 года со страховыми выплатами непосредственно после установления факта смерти застрахованного.

В момент времени страховщик получает взнос в размере в расчете на одного застрахованного, затем в течение всего срока страхования происходит некоторое приращение этой суммы (в силу начисления процентов), с одной стороны, и непрерывное ее уменьшение в результате страховых выплат – с другой, причем последний процесс является более преобладающим. К моменту окончания срока страхования полностью исчерпываются полученные средства.