Часть 3. Линейные электрические цепи несинусоидального тока

Лабораторная работа № 3. Основы математического моделирования.

Цели работы:

Численное решение дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Эйлера.

Аппроксимация периодической функции рядами Фурье. Нахождение спектра периодической функции.

Часть 1. Метод Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т.н. ломаной Эйлера.

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция f определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале [t0,b). На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах xi, определяется по формуле

Задание к первой части.

1. Для дифференциального уравнения из табл. 1 найти аналитическое решение и построить его график.

2. Найти численное решение того же дифференциального уравнения и построить график.

3. Сравнить полученные результаты, построить график ошибки. Проследить влияние шага интегрирования на точность решения.

Табл. 1.1. Варианты заданий.

Вар.	ДУ	НУ

Пример.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

с начальными условиями .

Аналитическое решение имеет вид:

Найдем численное решение с шагом интегрирования . Графики аналитического и численного решений представлены на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Графики точного (зеленый) и приближенного (синий) решений, а также график ошибки (черный)

Задание ко второй части

Для цепи и набора параметров из табл. 2.2 определить:

· Дифференциальное уравнение цепи, связывающее входное и выходное напряжение.

Проверить полученные аналитические зависимости методом моделирования в среде EWB и численным интегрирование дифференциального уравнения цепи при подаче на вход гармонического воздействия с частотами и . Привести графики решения дифференциального уравнения и показания осциллографа.

Табл. 2.2. Варианты заданий

Вар.	Схема	Параметры
	2.13
	2.13
	2.11
	2.11
	2.12
	2.12

Рис. 2.11

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Часть 3. Линейные электрические цепи несинусоидального тока

В данных цепях источниками являются периодические функции с одним и тем же или кратным периодом.

Под гармоническим анализом понимается разложение периодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Тригонометрическимрядом Фурье функции называют функциональный ряд вида

(3.1)

где

,

– период функции , т.е.

. (3.2)

Используя формулы приведения, (3.1) можно представить в виде

– спектр функции .

Если это условие периодичности не выполняется по каким-либо причинам (например, для одиночных импульсов), то исходный сигнал можно формально доопределить на всей числовой оси соответствующим образом.

При гармоническом анализе, кроме периодичности, сигнал должен удовлетворять условиям Дирихле, которые в основном сводятся к двум требованиям:

· во-первых, сигнал на отрезке или должен быть непрерывным или иметь конечное число разрывов первого рода;

· во-вторых, сигнал на этом отрезке должен иметь конечное число экстремумов.

Большинство периодических сигналов удовлетворяют условиям Дирихле.

Так как тригонометрический ряд Фурье является приближенным представлением сигнала, то важными являются вопросы сходимости, точности приближения. Факт сходимости устанавливается теоремой Дирихле, согласно которой сигнал, удовлетворяющий условиям теоремы Дирихле, сходится на всей числовой оси к самой функции во всех точках непрерывности и к полусумме левого и правого пределов в точках разрыва.

Точность приближения и скорость сходимости при конечном числе членов разложения зависят от степени гладкости сигнала на всей числовой оси (т.е. от числа непрерывных производных). Чем выше степень гладкости сигнала, тем больше скорость сходимости и выше точность при одном и том же числе членов разложения

При проведении гармонического анализа основной трудностью является вычисление коэффициентов Фурье. Их можно рассчитать либо точно аналитическим путем, либо приближенно на ЭВМ на основе численных методов вычисления определенных интегралов (например, квадратурного метода прямоугольников).

Частичной суммой ряда Фурье называют функцию вида

(3.3)

Т.к. частичная сумма ряда Фурье сходится к функции , то для многих задач оправдано использование небольшого числа членов ряда Фурье.

Задание к третьей части

Для одиночного импульса из табл. 3.1 при :

· доопределить сигнал на интервал таким образом, чтобы выполнялось соотношение (3.2) построить график функции.

· найти коэффициенты Фурье периодической функции.

· построить графики частичной суммы ряда Фурье (3.3) при различных k.

Табл. 3.1. К заданию для второй части

№	Входной сигнал	Схема	Параметр
		2.12
		2.12	0.8
		2.12	0.5
		2.13
		2.13	0.6
		2.13	0.5