Дифференциальные уравнения установившегося движения упругой жидкости

Дифференциальное уравнение неразрывности потока выведено в разделе 1.4. Если происходит установившееся фильтрация, то в этом уравнении производная по времени будет равна нулю. При фильтрации сжимаемой жидкости или газа плотность зависит от давления, поэтому ее нельзя вынести из–под знака дифференциала:

.

(3.1)

Введем понятие массовой скорости, которая является произведением линейной скорости на плотность:

.

(3.2)

После такой замены дифференциальное уравнение неразрывности при установившемся движении примет такой же вид, что и для несжимаемой жидкости, только вместо линейной скорости будет стоять массовая скорость.

Используя закон Дарси, найдем массовую скорость:

.

(3.3)

Плотность сжимаемой жидкости или газа зависит от давления, поэтому введем вспомогательную функцию P, которую назовем функцией Лейбензона и определим ее как:

.

(3.4)

Подставим массовую скорость, найденную из закона Дарси, в уравнение неразрывности и получим уравнение фильтрации сжимаемой жидкости или газа при установившемся движении. Оно также является уравнением Лапласа, только вместо давления в него входит функция Лейбензона:

.

(3.5)

Аналогия с движением несжимаемой жидкости.

С введением функции Лейбензона сравним уравнения, полученные в предыдущем параграфе, с уравнениями фильтрации несжимаемой жидкости.

Несжимаемая жидкость	Сжимаемая жидкость или газ
r = const(p)	r = r(p) ¹ const(p)
Уравнение неразрывности потока
	um = r u
Q = u w = const(p)	Qm = um w = rат Qат = const(p)
Закон Дарси
Аналогия между величинами
линейная скорость – u	um – массовая скорость
объемный расход – Q	Qm = rат Qат – массовый расход
давление – p	P – функция Лейбензона

Сравнение уравнений позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемой жидкости или газа и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости, для которой законы фильтрации были детально разобраны в главе 2. Отсюда следует вывод, что все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях.

Для этого необходимо в формулах несжимаемой жидкости заменить:

линейную скорость – u Þ u_m – массовую скорость;

объемный расход – Q Þ Q_m – массовый расход;

давление – p Þ P – функцию Лейбензона.

Подчеркнем, что при фильтрации газа плотность зависит от абсолютного давления, значит давление p в этом случае – абсолютное давление.

Рассмотрим вид функции Лейбензона для некоторых частных случаев.

Несжимаемая жидкость. Для неё плотность не зависит от давления (r = r_o = const(p)), поэтому ее можно вынести из–под знака интеграла, тогда функция Лейбензона примет вид:

.

(3.6)

Идеальный газ. Для него плотность зависит от давления:

,

(3.7)

поэтому функция Лейбензона после интегрирования примет вид:

.

(3.8)

Реальный газ. Для него плотность зависит от давления:

.

(3.9)

Коэффициент сверхсжимаемости реального газа z(p) достаточно сложным образом зависит от давления, поэтому интеграл вычислить затруднительно. В этом случае z(p) заменяют средним значением на промежутке изменения давления в пласте z_ср, тогда функция Лейбензона после интегрирования примет вид: