B. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты

Складываем два колебания одинаковой частоты, происходящие вдоль осей OX и OY:

Тогда

;

после возведения в квадрат и преобразований:

;

;

;

. (4.21)

В общем случае уравнение (4.21) – это уравнение эллипса (рис.4.9).

Частные случаи: 1) ; получим уравнение прямой (точнее, это будет отрезок прямой, поскольку колебания ограничены амплитудой) (рис.4.10а):

.

2) ; - прямая (отрезок) на рис.4.10б.

3) ; . Потребуем ещё, чтобы , тогда из (4.21):

.

Это – уравнение окружности (рис.4.10в).

С. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот. Фигуры Лиссажу

Складываются колебания:

Решение задачи в общем случае очень сложное, поэтому ограничимся примерами. Если частоты относятся как небольшие целые числа:

, (4.22)

то фигура замкнута; условие замкнутости: .

В методе фигур Лиссажу соотношение (4.22) по форме фигуры позволит найти незвестную частоту, если вторая частота известна. Здесь и – число точек пересечения фогуры с осями OX и OY (или прямыми, параллельными этим осям) – см. рис.4.11.

а) ; б) ; в) ; г) .

Затухающие колебания.

На реальную колебательную систему, кроме упругой (квазиупругой) силы

, (4.8)

действует сила сопротивления среды . При малых скоростях можно считать пропорциональной скорости движения, а направление её противоположно скорости:

, (4.23)

здесь r – коэффициент сопротивления среды, – скорость движения.

По второму закону Ньютона: ; с учетом того, что , получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:

, (4.24)

Здесь приняты следующие обозначения:

, (4.25)

, (4.26)

где β – коэффициент затухания, – циклическая частота собственных колебаний, то есть колебаний системы, если бы затухания не было.

Решением дифференциального уравнения (4.24) при условии малости затухания (то есть если β < ω₀) является функция

, (4.27)

в чем можно убедиться путем подстановки (4.27) в (4.24), предварительно найдя производные. При этом будет получено и выражение для круговой частоты и периода затухающих колебаний:

; . (4.28)

График функции (4.27) приведен на рис.4.12. Если затухание велико (β>ω₀), движение системы не имеет колебательного характера и будет апериодическим (рис.4.13). Этот случай в дальнейшем рассматриваться не будет.

Таким образом, если на тело, кроме силы упругости, действует сила сопротивления среды, то тело будет совершать колебательное (но не гармоническое) движение с частотой, зависящей от массы тела m, жесткости пружины k и коэффициента затухания β, характеризующего силу сопротивления среды. При этом частота ω затухающих колебаний оказывается меньше частоты собственных незатухающих колебаний из-за действия тормозящей силы сопротивления. Амплитуда колебаний будет с течением времени уменьшаться по экспоненциальному закону:

, (4.29)

где – начальная амплитуда колебаний. Быстроту затухания колебаний характеризует логарифмический декремент затуханияλ. Логарифмический декремент затухания – это натуральный логарифм отношения амплитуд двух следующих друг за другом колебаний, то есть амплитуд колебаний в моменты времени t и (t+T):

, (4.30)

;

. (4.31)

Введём время релаксации:

; (4.32)

Тогда при :

,

то есть за время релаксации амплитуда уменьшается в е раз. Число колебаний за время релаксации равно

. (4.33)

Еще одна важная физическая величина характеризует затухание колебаний – добротность:

. (4.34)

, (4.35)

при условии малости затухания: .

Добротность пропорциональна числу колебаний за время релаксации (4.33), (4.34):

. (4.35)

Можно показать, что добротность обратно пропорциональна относительной убыли энергии колебаний за время, равное одному периоду:

. (4.36)