Раздел 12. Элементы теории вероятностей

181. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора-автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.

182. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7; второй – 0,4; третий – 0,4; четвертый – 0,3. Найти вероятность того, что в течение часа а) хотя бы один станок не потребует внимания рабочего; б) только один станок не потребует внимания рабочего.

183. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того. Что студент ответит на первый, второй вопрос равны по 0,9; на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить а) на все вопросы; б) по крайней мере на два вопроса билета.

184. Для одной бригады вероятность выполнения нормы равна 0,8, для другой – 0,9. Найти вероятность того, что а) обе бригады выполнят норму; б) хотя бы одна бригада выполнит норму.

185. Издательство отправляет газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе – 0,95, в третье – 0,8. Найти вероятность того, что а) два отделения получат газеты вовремя, а одно с опозданием; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

186. Игра проводится до выигрыша одним из двух игроков двух партий подряд. Вероятность выигрыша партии первым игроком равна 0,6, вторым – 0,4 (ничьи исключены). Найти вероятность того, что а) игра закончится после двух партий; б) игра закончится до четырех партий.

187. Предприятие состоит из трех независимо работающих подразделений. Предполагается, что вероятность их рентабельной работы в течение времени t соответственно равна 0,7; 0,6; 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t рентабельным будет а) только одно предприятие; б) хотя бы одно предприятие.

188. Четыре стрелка договорились стрелять по мишени до попадания в определенной последовательности: следующий стрелок производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7, для треть-

его – 0,8, для четвертого – 0,6. Найти вероятность того, что будет произведено а) не более трех выстрелов; б) четыре выстрела.

189. Два шахматиста играют три партии в шахматы. Вероятность выигрыша для первого шахматиста в первой партии – 0,3; во второй – 0,6; в третьей – 0,7. Найти вероятность того, что первый шахматист выиграет а) две партии; б) не менее двух партий.

190. Прибор комплектуется деталями трех типов. Вероятность того, что поступающие на сборку детали будут высшего сорта, для первого типа равна 0,9, для второго типа – 0,7; для третьего типа – 0,8. Найти вероятность того, что среди деталей прибора будет а) две высшего сорта; б) не менее двух высшего сорта.

191. В цехе работают 25 станков. Из них 10 станков типа А, 8 станков – типа Б, 7 станков – типа В. Вероятность брака при обработке детали на каждом из станков, соответственно, равна 0,02, 0,03, 0,01. Какой процент деталей без брака изготавливается в цехе?

192. Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относится как 3 : 2 : 5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах соответственно равны 0,6; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет обнаружен.

193. Имеются две партии деталей. Известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой – пятая часть деталей недоброкачественная. Деталь, взятая из произвольно выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что деталь была взята из второй партии.

194. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,04, для третьего – 0,03. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

195. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1 % бракованных, со второго – 0,2 %, с третьего – 0,25 %, с четвертого – 0,5 %. Производительности их относятся как 4:3:2:1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

196. Аппаратура в 80 % случаев работает в нормальном режиме и в 20 % случаев – в аварийном. Вероятность сбоя в нормальном режиме работы (за некоторое время Т) равна 0,05; в аварийном – 0,5. Найти вероятность сбоя аппаратуры (за время Т).

197. Вероятность для конструкций некоторого производства удовлетворять стандарту 0,95. Предполагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для конструкций, удовлетворяющих стандарту и 0,04 – для прочих конструкций, Найти вероятность того, что конструкция, признанная при проверке стандартной, действительно является таковой.

198. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбирают два мяча и после игры возвращают их обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность, что вторая игра будет проводится новыми мячами?

199. Среди студентов института – 25 % первокурсники, 30 % студентов учатся на втором курсе, на третьем и четвертом курсах учатся 25 % и 20 % соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 10 % студентов сдали сессию только на отличные оценки, на втором – 15 %, на третьем – 18 %, на четвертом – 20 % отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Какова вероятность, что он третьекурсник?

200. Станок третью часть своего времени обрабатывает детали типа А, остальную часть детали типа Б. При обработке детали типа А он стоит 10 % времени, а детали типа Б – 5 %. Какова вероятность застать станок стоящим?

201. Производство дает 1 % брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 2000 изделий выбраковано будет не больше 1 % изделий?

202. В институте 12000 студентов. Вероятность того, что студент занимается спортом 0,2. Найти вероятность того, что число спортсменов в институте превышает 2500.

203. В партии пять приборов. Вероятность безотказной работы каждого составляет 0,8. Найти вероятность того, что при проверке откажут не более двух приборов.

204. Рабочий обслуживает шесть станков. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение часа этих требований будет не больше трех.

205. Вероятность того, что прибор потребует дополнительной регулировки 0,45. Какова вероятность того, что из 500 приборов большая часть не потребует дополнительной регулировки.

206. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность наивероятнейшего числа попаданий при пяти выстрелах.

207. Вероятность отклонения размера каждой детали от номинала равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 900 деталей не будут иметь отклонения размера от номинала от 790 до 820 деталей.

208. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, что в результате 500 выстрелов промахов окажется от 410 до 430.

209. Вероятность того, что изделие – высшего сорта, равна 0,52. Найти вероятность того, что из 1000 изделий половина высшего сорта.

210. По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0,005. Найти вероятность того, что будет искажено не более трех знаков.

Задания 211–220. Составить закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) и вычислить ее числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

211.В урне два белых и три черных шара. Два раза из урны вынимается шар с возвращением первого вынутого шара в урну.

СВ Х – число вынутых белых шаров.

212.Вероятность перевыполнения плана для строительного управления (СУ) 1 равна 0,4, для СУ-2 – 0,5, для СУ-3 – 0,8.

СВ Х – число СУ, перевыполнивших план.

213.Стрелок имеет четыре патрона и стреляет в цель до первого попадания или полного израсходования патронов. Вероятность попадания при одном выстреле 0,8. СВ Х – число израсходованных патронов.

214.Вероятность успешной сдачи первого экзамена для данного студента равна 0,9, второго экзамена – 0,6, третьего – 0,8. СВ Х – число сданных экзаменов.

215.В урне имеется четыре шара с номерами от 1 до 4. Одновременно извлекли два шара. СВ Х – сумма номеров шаров.

216.В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад взяты две детали. СВ Х – число стандартных деталей среди выбранных.

217.Два шахматиста играют две партии в шахматы. Вероятность для первого шахматиста выиграть первую партию равна 0,4, вторую – 0,6. СВ Х – число партий, выигранных первым шахматистом.

218.Испытываются три прибора. Вероятность безотказной работы каждого прибора за время T равна 0,6. СВ Х – число приборов, проработавших безотказно время Т.

219.Студент знает 20 вопросов из 25. Билет содержит три вопроса. СВ Х – число вопросов данного билета, которые знает студент.

220.При установившемся технологическом процессе предприятие выпускает 4/5 своих изделий первым сортом и 1/5 вторым сортом. СВ Х – число изделий первого сорта из взятых наугад трех.

Задания 221–230. Задана непрерывная СВ Х своей функцией распределения F(x). Требуется:

1) определить коэффициент А;

2) найти плотность распределения вероятностей f(x);

3) вычислить математическое ожидание СВ Х;

4) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a,b).

221. F(x) =	a = 1, b = 2.
222. F(x) =	a = 2, b = 5.
223. F(x) =	a = π/3, b = π.
224. F(x) =	a = 0, b = π/6.
225. F(x) =	a = 1, b = 3.
226.F(x) =	a = 1, b = 4.
227. F(x) =	а = 5π/6, b = 3π/2.
228. F(x) =	a = 2,5 , b = 4.
229. F(x) =	a = π/3, b = π /2.
230. F(x) =	a = 1,2 , b = 1,5.

231. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением равным 5 мм и математическим ожиданием равным нулю. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

232. Станок изготавливает деталь, длина которой есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами

a = 15 см и s = 0,2 см. Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали (15 0,3) см.

233. Считается, что отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта является случайной величиной, распределенной нормально. Какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8, если параметры распределения a = 40 см;

s = 0,4 см?

234. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.

235. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина Х распределена нормально с параметром σ = 0,4 мм?

236. Среднее квадратичное отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.

237. На станке изготавливаются детали. Длина детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, имеет среднее значение 20 см и дисперсию – 0,04 см². Найти вероятность того, что длина детали заключена между 19,7 см и 20,3 см.

238. Рост мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием равным 174 см и дисперсией равной 49 см². Найти вероятность того, что трое наугад выбранных мужчин будут иметь рост от 172 до 180 см.

239. Производят взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайная ошибка взвешивания распределена нормально с математическим ожиданием 20 кг и средним квадратичным отклонением 2 кг. Найти вероятность того, что следующее взвешивание отличается от математического ожидания не более чем на 100 г.

240. Диаметр втулок, изготовленных на заводе, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 2,5 см и среднеквадратичным отклонением 0,01 см. В каких границах можно гарантировать величину диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?