Задания для самостоятельного решения. 1.1. Пользуясь определением числовой последовательности, докажите, что:

I уровень

1.1. Пользуясь определением числовой последовательности, докажите, что:

1) 2)

3) 4)

1.2. Вычислите предел:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) ; 10) .

11) 12)

II уровень

2.1. Вычислите предел:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

2.2. Докажите, что последовательность не имеет предела:

1) 2)

III уровень

3.1. Задана последовательность

Найдите . Определите, каким должно быть для того, чтобы разность между и ее пределом по абсолютной величине не превзошла ?

3.2. Вычислите предел последовательности:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

3.3. Найдите предел последовательности:

1) если

2) , если .

3.4. Вычислите предел числовой последовательности , заданной формулой общего члена при различных значениях параметров .

1) ;

2) .

Предел функции

Рассмотрим функцию , определённую в некоторой окрестности точки (в самой точке данная функция может быть не определена).

Число А называется пределом функции в точке (по Гейне),если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначается:

или

при

Если функция в точке имеет предел, то он единственный.

Если функции и имеют пределы в точке , то справедливы формулы:

, где С=const; (3)

(4)

(5)

. (6)

Если непосредственное вычисление предела по формулам (3) – (6) приводят к неопределённости вида, , то необходимо вначале тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.

Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

, (7)

которое означает, что операции вычисления предела и функции переставимы.

Кроме предела функции в точке рассматривают предел функции на бесконечности: число называется пределом функции при (или ), если для всякой последовательности , (или ) при последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Обозначают:

.

Для предела функции на бесконечности также справедливы формулы (3) – (6).

Функция называется бесконечно малой функцией при (или ), если

Функция называется бесконечно большой при , если для всякой последовательности , при , ( или ) последовательность соответствующих значений функции является бесконечно большой.

Обозначают . (8)

Если – бесконечно большая функция при , то она не имеет предела (предел – это число!), запись (8) следует воспринимать лишь как обозначение бесконечно большой функции

Пример1. Пользуясь определением предела функции по Гейне доказать, что

Решение. Пусть – произвольная последовательность, которая сходится к 3 , т.е.

Тогда

Пример 2. Вычислить пределы функций в точке:

1) 2)

3) .

Решение. 1. При непосредственном использовании формул (3) – (6) получаем неопределённость вида

Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на общий множитель. Получим

.

2. Непосредственное вычисление приводит к неопределённости . Для раскрытия приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

.

Далее разлагаем числитель и знаменатель на множители. Получаем

.

3. Непосредственное вычисление предела при приводит к неопределённости Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражений и 2, чтобы в числителе получить разность кубов:

Поскольку неопределенность типа сохранилась, разложим многочлены на множители и сократим:

Переход к пределу при дает

.

Пример 3. С помощью вычислений определить является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой при .

1) ; 2)

Решение. 1. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассмотреть .

Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопределенности типа . Вынесем в числителе и знаменателе старшее основание, т.е. за скобки.

Так как показательная функция при является убывающей, то при получим:

.

Тогда согласно определению функция является бесконечно большой.

2. Вычислим . При выражение в скобках представляет собой разность двух бесконечно больших величин ( ). Умножив и разделив функцию на выражение , получим:

.

В результате преобразований возникла неопределенность типа , а поэтому разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на . Получим:

Следовательно, по определению функция является бесконечно малой.