Температурные напряжения при нагреве

При значительных скоростях нагрева в пластине могут возникать термиче­ские напряжения, превышающие допустимые для данного материала, приводящие в некоторых случаях даже к разрушению пластины.

В этом разделе получим формулы для расчета термических напряжений, возникающих при нагреве.

Согласно литературным данным, например [9], для определения темпера­турных напряжений в бесконечно большой пластине толщиной 2d при симмет­ричном распределении температур можно воспользоваться следующим выраже­нием:

, (74)

где s_у(х,t) и s_z(х,t) – нормальные составляющие напряжения, параллельные осям y, z, Па;

b - линейный коэффициент температурного расширения, 1/К;

Е – модуль упругости на растяжение и сжатие, Па;

v - коэффициент Пуассона;

t(x) – текущая температура, определенная выше решением (8).

Подставляя температурное поле (8) в уравнение (43) и полагая теплофизические и упругие константы независящими от температуры, после преобразований получим:

, (75)

где - безразмерные термические напряжения,

s₀ = bЕDt₀ / (1-n) – максимально возможные термические напряжения, Па;

q­_ср(Fo) – среднемассовая температура пластины (уравнение (11) или (27)).

При Х=1 из уравнения (44) получим напряжение на поверхности

, (76)

а при Х=0 – в центре пластины

. (77)

Исследование полученных решений позволяет сделать следующие выводы:

1) При нагреве на поверхности пластины возникают сжимающие (отрица­тельные) напряжения, а в середине растягивающие (положительные); в случае процесса охлаждения знаки поменяются;

2) Нейтральные слои расположены несколько ближе к поверхности;

3) Наибольшее значение по абсолютной величине имеют напряжения на поверхности;

4) Динамика изменения напряжения во времени аналогична изменению температурной разности, т.е. резко возрастают, достигая максимального значения при числах Фурье Fo_max­=0,05…0,30, а затем постепенно падают.

Пропорциональность напряжений температурной разности дает возмож­ность записать приближенную, упрощенную формулу для расчета средних терми­ческих напряжений. Согласно данным Н. Ю. Тайца [28]:

, (78)

где А – эмпирический коэффициент, А = 2/3 – для пластины и А = 0,5 – для цилиндра;

Dt(t) = t_n(t) - t_ц(t) – температурная разность, которую можно определить из об­щего решения (8) или из уравнения (53) для регулярного режима, либо с использованием уравнения (29) для инерционного периода нагрева

Dq = j(у) – 1. (79)

Решая совместно уравнения (45) и (46), можно получить

. (80)

Так как термические напряжения в центре пластины примерно на порядок меньше напряжений на поверхности, то из уравнения (80) вытекает, что и это доказывает справедливость эмпирической формулы (78).

Иногда важнее знать не всю динамику изменений напряжений во времени, а только их максимально возможную величину, которая достигается, когда Dt ста­новится равной Dt_max в момент времени t_max. Тогда формула (78) перепишется в виде:

s_max = AbEDt_max / (1-n). (78a)

или в безразмерной форме

. (81)

Если расчеты покажут, что максимальные напряжения окажутся больше допустимых, т.е.

s_max ³ s_доп, (82)

то следует изменить режим или условия нагрева во избежание появления трещин, снижения качества заготовки и т.д.

Определение максимальной температурной разности наталкивается на трудности математического характера, т.к. Dq_max = f₁ (Fо_max) находится из условия равенства нулю производной по числу Фурье в урав­нении (20). А из-за малости числа Fо_max приходится учитывать много членов ряда (20) и затем решать трансцендентные уравнения. Аналогичная ситуация возни­кает при определении по уравнению (80). См. рис. 4.4.

Выведем приближенную аналитическую формулу для расчетов Fo_max. Дифференцируя уравнение (20) по времени, приравнивая производную нулю, используя два члена разложения в сумме ряда, получим:

, (83)

где .

В двух предельных случаях (малые и большие числа Био) уравнение (83) упрощается.

Рис. 4.1.- Динамика изменения безразмерной температуры в центре, среднемассовой, на поверхности и их разности во времени

Малые числа Био.

Согласно уравнению (41) , а из уравнения (15) с учетом того, что при малых аргументах и второй корень уравнения (9) . Тогда разность квадратов корней .

Коэффициенты Р при Bi² = 0: .

Тригонометрические функции: (см.уравнение (84)); . Тогда .

Окончательно, после подстановки и в уравнение (83), получим время наступления максимальной разности температур при малых числах Био:

. (84)

Уравнением (84) с погрешностью менее 5% можно пользоваться при числах получая чуть заниженные результаты по сравнению с расчетом по (83).

В пределе, если , время , однако число Тихонова

(85)

стремится к нулю. В этом можно убедиться, раскрыв неопределенность типа 0/0 по известному правилу Лопиталя.

При больших числах Фурье для расчета максимальной температурной разности по уравнению (20) можно ограничиться одним членом ряда

. (86)

4.4.2. Большие числа Био.

Согласно уравнению (16) и .

Коэффициенты , ,

, .

Тогда коэффициент b=1/3 и время наступления максимальной температурной разности при больших числах Био:

, (87)

где - время максимума, которое получается в случае .

Относительная погрешность уравнения (87) при числах не превышает 8,6% хотя абсолютные значения времени отличаются в третьем знаке после запятой.

В пределе, если , время максимума , а точнее , так как уравнения (83) и (87) получены с использованием всего двух членов ряда (20), однако максимальное число Тихонова

, (88)

где , с ростом числа Био стремится к бесконечности.

При малых числах Фурье , как уже отличалось ранее, ряды (8), (11), (39) и (20) плохо сходятся. В этом случае следует использовать уравнения (29) и (79), которые описывают начальную стадию нагрева. Тогда максимальная разность температур при и с учетом разложения функции при y>>1:

, (89)

где .

При промежуточных числах Био следует пользоваться более сложной, но точной формулой (83).

При известном Fo_max максимальную разность температур можно определить по уравнению (20) или (79), а температуру на поверхности по формуле (18) или (29). См. рис. 4.2…4.7.

Рис. 4.2. Зависимость максимальных значений Fo_max , , , , от числа Био

Рис. 4.3. Зависимость времени нагрева тела до заданных температур поверхности, среднемассовой и центра от числа Био

Рис. 4.4. Зависимость безрозмерных термических напряжений на поверхности ( ), в центре ( ) и температурной разности ( )

Рис. 4.5. Зависимостьмаксимальних термическихнапряженийна поверхности ( ) и в центре ( )

Рис. 4.6. Зависимость времени наступления максимальных напряжений

Fo_m.ц , Fo_max , Fo_m.n от числа Био

Рис. 4.7. Зависимость коэффициентов усреднения от времени и числа Био