Математические формулы для расчета параметров сетевого графика

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
или	(6)
	(7)
и - для критических работ	(8)
Для событий сетевого графика определяются: - время раннего свершения (раннее время из возможных); ТiР; - время позднего свершения (позднее время из допустимых); ТiП; - резерв времени свершения события -для всех событий критического пути ТiП=ТiР ; поэтому Ri(кр)=0	(9)
Путь в сетевом графике от исходного события до завершающего (Пi) определяется суммированием продолжительности входящих в него работ. Путь, суммарная продолжительность работ которого имеет наибольшую величину, называется критическим путем (Пкр). Rпi=Пкр-Пi, где Rпi –резерв времени любого пути, а Rп кр=0 – для критического пути резерв времени равен 0.	(10)
где КHi-j – коэффициент напряженности любой работы (i-j); ; Ri-j – резерв времени любой работы (i-j); Пкр – продолжительность критического пути; - суммарная продолжительность времени критических работ, попавших в максимальный путь, проходящий через данную работу (i-j) от нулевого до завершающего события.	(11)

Ниже приведен расчет и анализ сетевого графика, составленного для проектных работ по образованию нового объекта землеустройства. Все мероприятия по предполагаемому землеустройству разбиваются на определенное количество работ (i-j), составляется таблица, ориентировочно оценивается время выполнения каждой работы. Эти данные заносятся в таблицу 1.

Таблица 1

Проектные работы по образованию нового объекта землеустройства[1]

Работа i-j	Описание	Предшествующие работы	Продолжительность, дни[2]
0-1	Определить участников землеустройства, местоположение границ земельных участков и хозяйства, которые будут затронуты проектом.	-
0-4	Изучить существующие схемы и проекты, касающиеся землеустраиваемой территории: - землеустройства; - планировки и застройки; - мелиорации; - строительства дорог; - использования, охраны и перераспределения земель.	-
1-2	Подготовить данные планово-картографических материалов и вычисления площадей земельных участков.	0-1
1-3	Подготовить материалы земельного учета, оценки и инвентаризации земель, включаемых в будущий проект.	0-1
2-3	Провести обследования и изыскания: почвенные, геоботанические и др.; подготовить имеющиеся материалы по подобным обследованиям.	1-2
2-6	Провести полевые землеустроительные обследования территории: - определить месторасположение земельных массивов, намечаемых для размещения проектируемых землевладений и землепользований с учетом охраняемых территорий и существующих хозяйств; - установить наличие, состояние и возможности использования объектов инфраструктуры (дорог, сооружений, коммуникаций, мелиоративных сетей и т.п.); - выбрать и предложить места и участки для будущего строительства разного назначения.	1-2
3-5	Подготовить материалы, характеризующие особый режим и условия (ограничения, обременения, сервитуты) пользования землей.	1-3 2-3
3-6	Фиктивная работа (зависимость).	2-3
4-5	Подготовить данные, необходимые для проектирования и характеризующие природные и экономические условия хозяйств (климат, рельеф, водный режим, специализацию сельскохозяйственных предприятий и др.).	0-4
4-9	Составить задание на проектирование для выполнения работ по землеустройству.	0-4
4-12	Разработать мероприятия, предусматривающие при образовании новых земельных участков на орошаемых или осушенных землях функционирование имеющихся или проектируемых мелиоративных систем.	0-4
5-7	Уточнить месторасположение деградированных земель: загрязненных, зараженных, подверженных эрозии и т.п.	3-5
6-7	Выявить земельные участки, пригодные для освоения под сельскохозяйственные угодья.	2-6 3-6
6-8	Составить акт землеустроительного обследования территории.	2-6 3-6
7-8	Оформить чертеж землеустроительного обследования территории.	5-7
7-11	Определить границы всех земельных участков в соответствии с требованиями эколого-ландшафтной организации территории	5-7 6-7
8-11	Привести в соответствие с правилами землепользования и застройки, землеустроительной, градостроительной и проектной документацией размеры проектируемых земельных участков.	6-8 7-8
8-13	Фиктивная работа (зависимость)	6-8 7-8
9-10	Составить документы по разделу земельных участков (в необходимых случаях) с целью образования новых самостоятельных земельных участков	4-9
9-11	Сформировать каждый земельный участок по присущим только ему признакам: местоположение, целевое назначение земель, разрешенное использование, площадь, удостоверенные границы, ограничения и обременения (сервитуты)	4-9
10-11	Разработать рациональную и эффективную организацию сельскохозяйственного производства, сохранения почв и их плодородия, природной среды и др. на землях сельскохозяйственного назначения.	9-10
11-12	Обеспечить совмещение границ земельных участков сельскохозяйственного назначения с существующими границами полей севооборотов и рабочих участков, с естественными или искусственными рубежами (дорогами, лесополосами, реками, ручьями, каналами и т.п.)	7-11 8-11 9-11 10-11
11-13	Разработать графическую часть проекта – проектный план и другие чертежи.	7-11 8-11 9-11 10-11
12-13	Сформировать текстовую часть проекта землеустройства: пояснительная записка, ведомость вычисления площадей и др.	4-12
12-14	Оформить материалы с технико-экономическими обоснованиями принимаемых проектных решений при образовании новых земельных участков или упорядочении их границ.	4-12
13-14	Согласовать и утвердить проект землеустройства.	11-13
13-15	Осуществить перенос проекта в натуру (отвод земельных участков).	11-13
14-15	Сформировать межевой план, передать его заказчику и в государственный фонд данных по землеустройству.	12-14 13-14
15-16	Завершение проекта; оформить и выдать свидетельство на право собственности на землю (по решению исполн. органов)	13-15 14-15

На основании данных таблицы 1 определяем содержание событий сетевого графика, вычерчиваем его (см. рис. 9), рассчитываем T^P_i,T^П_i,R_i и составляем таблицу 2.

Рис. 9. Сетевой график

Расчет ранних (Т^Р_i) и поздних (T^П_i) сроков свершения событий, резервов времени событий (R_i) сетевой модели

Определение сроков раннего свершения событий (Т^Р_i), лежащих на всех путях графика, проводится методом прямого анализа; сроков позднего свершения событий (T^П_i) - методом обратного анализа сетевого графика: T^P_i определяется от исходного события к завершающему; T^П_i определяется от завершающего события к исходному.

I. Расчет ранних сроков свершения событий T^P_i (прямой анализ)

1. Событие 0 – начало выполнения проекта; самое раннее время, когда это событие может произойти, – время, равное 0. Раннее время наступления события является также ранним сроком начала любой работы, исходящей из данного события, т.е. в данном случае T^P₀= T^PН_0-1=T^PН_0-4=0.

2. Событие 1. Раннее время наступления (свершения) события 1 равно:

,

так как событие 1 является результатом лишь одной работы T_0-1 от исходного события. Раннее время свершения события 1, T^P₁=10, является также ранним временем (сроком) начала двух исходящих из него работ, то есть

3. Событие 2. Раннее время свершения события 2 равно

,

так как событие 2 является результатом лишь одной работы Т_1-2 после события 1. является также ранним сроком начала двух исходящих из него работ, то есть .

4. Событие 3 является событием слияния, так как оно может произойти только в результате выполнения двух входящих в него работ Т_1-3 и Т_2-3 . Имеем

;

.

Самый поздний из ранних сроков окончания входящих в событие 3 работ (25, 52) – это 52; этот срок и выбирается для раннего срока свершения события 3, то есть .

5. Раннее время свершения события 4 равно

,

так как событие 4 является результатом лишь одной работы Т_0-4 от исходного события. Так как событие 4 является событием дробления, то раннее время его свершения является также ранним временем (сроком) начала трех исходящих из него работ, то есть .

6. Событие 5 является событием слияния, так как оно может произойти только в результате выполнения двух входящих в него работ Т_3-5 и Т_4-5 . Имеем

Самый поздний из ранних сроков окончания входящих в событие 5 работ (72, 35) – это 72; этот срок и выбирается для раннего срока свершения события 5, то есть .

7. Событие 6 можно считать событием слияния, так как существует одна входящая в него работа Т_2-6 и зависимость Т_3-6=0. Имеем

Самый поздний из ранних сроков окончания входящих в событие 6 работ (57, 52) – это 57; этот срок и выбирается для раннего срока свершения события 6, то есть .

Подобным образом рассчитывается время раннего свершения для всех событий сетевого графика до завершающего; ; это событие – завершающее, для него нет запаса по времени, , где 270 суток – плановый срок окончания всех работ по проекту.

Итоги расчетов времени ранних свершений событий заносим в графу 3 таблицы 2.

II. Расчет поздних сроков свершения событий T^П_i (обратный анализ)

Обратный анализ сетевого графика начинается с последнего (завершающего) события проекта и на каждом шаге вычитается продолжительность работ, пока по ходу расчета (с убыванием номеров анализируемых событий) не встречается событие дробления. В нашем случае первым (от завершающего) событием дробления является событие 13.

1. Событие 16 – завершающее в рассматриваемом графике; у него нет запаса по времени, R₁₆=0, то есть .

2. Событие 15. Так как после события 25 начинается лишь одна работа Т_15-16=26, а , то самый поздний срок начала работы Т_15-16 (и поздний срок свершения события 15) определяем:

.

3. Событие 14. Так как после события 14 начинается лишь одна работа Т_14-15=34, а , то самый поздний срок начала работы Т_14-15 (и поздний срок свершения события 14) определяем:

.

4. Событие 13 – является событием дробления, так как после него начинаются две работы: Т_13-14 и Т_13-15.

Имеем: :

.

Самое раннее время из двух поздних начал, исходящих из события 13 работ (177, 215), – это 177; и оно, соответственно, становится поздним сроком свершения события 13, так как в ином случае рассчитанное время выполнения работ, следующих за событием 13 через работу Т_13-14, будет нарушено.

5. Событие 12 – является событием дробления, так как после него начинаются две работы: Т_12-13 и Т_12-14.

Имеем: :

.

Самое раннее время из двух поздних начал, исходящих из события 12 работ (153, 196), – это 153; и оно, соответственно, становится поздним сроком свершения события 12, так как в ином случае рассчитанное время выполнения работ, следующих за событием 12 через работу Т_12-13, будет нарушено.

Подобным образом рассчитывается время позднего свершения для всех событий сетевого графика до исходного; . Итоги расчетов времени ранних свершений событий заносим в графу 4 таблицы 2.

Исходное и завершающее события лежат на критическом пути.

Резерв времени для каждого события определяем по формуле:

. (12)

Таблица 2

Расчет ранних и поздних сроков свершения событий и резервов времени событий сетевой модели (базовый вариант)

№ события	Описание событий	Время, дни	Резерв времени Ri
Раннего свершения TPi	Позднего свершения ТПi
	Исходное событие. Начало работ.
	Определены участники землеустройства, границы земельных участков.
	Данные планово-картографических материалов и вычисления площадей подготовлены.
	Материалы земельного учета, оценки и инвентаризации подготовлены; обследования и изыскания проведены.
	Схемы и проекты землеустраиваемой территории изучены.
	Материалы, характеризующие особый режим и условия, подготовлены; природные и экономические характеристики изучены.
	Полевые землеустроительные обследования (в заданной части см. работу 2-6) проведены.
	Месторасположение деградированных земель определено. Земельные участки, пригодные для сельскохозяйственного производства, выявлены.
	Акт и чертеж землеустроительного обследования территории составлены.
	Задание на разработку проекта землеустройства составлено.
	Документы по разделу имеющихся земельных участков составлены.
	Все земельные участки, новые и упорядоченные, сформированы; границы приведены в соответствие с требованиями эколого-ландшафтной организации территории.
	Разработаны мероприятия рационального использования сформированных земельных участков для целей сельскохозяйственного производства.
	Графическая часть проекта землеустройства (проектный план) составлена. Текстовая часть проекта сформирована.
	Технико-экономические обоснования оформлены. Проект землеустройства согласован и утвержден.
	Проект землеустройства в натуру перенесен (отвод земель). Землеустроительное дело сформировано, передано заказчику и в государственный фонд данных по землеустройству.
	Завершающее событие. Свидетельство на право собственности на землю оформлено и выдано заказчику.

События, у которых R_i=0, являются критическими. В данном сетевом графике критический путь проходит по событиям:

П_кр=0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Работы, составляющие критический путь, также резервов времени не имеют. Продолжительность критического пути равна:

П_кр=Т_0-1+Т_1-2+Т_2-3+Т_3-5+Т_5-7+Т_7-8+Т_8-11+Т_11-12+Т_12-13+Т_13-14+Т_14-15+Т_15-16=

=10+14+28+20+23+27+12+19+24+33+34+26=270

Ниже приведен анализ путей сетевого графика. Длина пути определяется продолжительностью работ, составляющих этот путь (П_i, здесь и далее расчет ведется в днях). Так,

П₁=10+24+33+22+12+25+33+34+26=209

Аналогично определена продолжительность всех других путей. Резерв времени пути определяется по формуле:

R^П_i =П_кр-П_i (13)

Результаты расчетов см. в таблице 3.

Таблица 3

Определение количества путей в сетевой модели

и выявление критического пути.

Обозначение пути, Пi	Работы, составляющие путь, i-j	Длина пути, дни	Резерв времени, RПi, дни
П1	0-1; 1-2; 2-6; 6-8; 8-11; 11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П2	0-1; 1-2; 2-3;3-6; 6-8; 8-11; 11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П3	0-1; 1-2; 2-6; 6-7; 7-8; 8-11;11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П4	0-1; 1-2; 2-3;3-6; 6-8; 8-13; 13-14; 14-15; 15-16
П5	0-1; 1-3; 3-6; 6-7; 7-8; 8-11;11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П6	0-1; 1-3; 3-6; 6-8; 8-11; 11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П7	0-1; 1-3; 3-6; 6-7; 7-8; 8-13; 13-14; 14-15; 15-16
П8	0-1; 1-3; 3-6; 6-8; 8-13; 13-15; 15-16
П9	0-1; 1-3; 3-6; 6-8; 8-11; 11-13; 13-15; 15-16
П10	0-1; 1-3; 3-6; 6-8; 8-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П11	0-1; 1-3; 3-6; 6-7; 7-8; 8-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П12	0-1; 1-2; 2-3; 3-5; 5-7; 7-8; 8-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П13	0-1; 1-2; 2-3; 3-5; 5-7; 7-8; 8-11; 11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П14	0-1; 1-2; 2-3; 3-5; 5-7; 7-8; 8-13; 13-14; 14-15; 15-16
П15	0-1; 1-2; 2-3; 3-5; 5-7; 7-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П16	0-1; 1-2; 2-3; 3-5; 5-7; 7-11; 11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П17	0-1; 1-2; 2-3; 3-5; 5-7; 7-11; 11-13; 13-15; 15-16
П18	0-1; 1-2; 2-3; 3-5; 5-7; 7-11; 11-12; 12-14; 14-15; 15-16
П19	0-1; 1-3; 3-5; 5-7; 7-8; 8-13; 13-14; 14-15; 15-16
П20	0-1; 1-3; 3-5; 5-7; 7-8; 8-11; 11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П21	0-1; 1-3; 3-5; 5-7; 7-8; 8-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П22	0-1; 1-3; 3-5; 5-7; 7-8; 8-11; 11-12; 12-13; 13-15; 15-16
П23	0-1; 1-3; 3-5; 5-7; 7-8; 8-11; 11-13; 13-15; 15-16
П24	0-4; 4-5; 5-7; 7-8; 8-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П25	0-4; 4-5; 5-7; 7-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П26	0-4; 4-5; 5-7; 7-11; 11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П27	0-4; 4-5; 5-7; 7-11; 11-12; 12-14; 14-15; 15-16
П28	0-4; 4-5; 5-7; 7-11; 11-12; 12-13; 13-15; 15-16
П29	0-4; 4-5; 5-7; 7-8; 8-13; 13-14; 14-15; 15-16
П30	0-4; 4-5; 5-7; 7-8; 8-13; 13-15; 15-16
П31	0-4; 4-9; 9-10; 10-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П32	0-4; 4-9; 9-11; 11-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П33	0-4; 4-9; 9-11; 11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П34	0-4; 4-9; 9-10; 10-11; 11-12; 12-13; 13-15; 15-16
П35	0-4; 4-9; 9-11; 11-12; 12-14; 14-15; 15-16
П36	0-4; 4-9; 9-10; 10-11; 11-12; 12-14; 14-15; 15-16
П37	0-4; 4-9; 9-10; 10-11; 11-13; 13-14; 14-15; 15-16
П38	0-4; 4-9; 9-10; 10-11; 11-13; 13-15; 15-16
П39	0-4; 4-9; 9-11; 11-13; 13-15; 15-16
П40	0-4; 4-12; 12-13; 13-14; 14-15; 15-16
П41	0-4; 4-12; 12-13; 13-15; 15-16
П42	0-4; 4-12; 12-14; 14-15; 15-16

В данном случае для изучения методов сетевого планирования выбран большой комплекс землеустроительных работ, вследствие чего сетевой график содержит большое количество событий слияния и дробления; поэтому в примере расчета проанализировано только 42 пути (остальные рассчитываются подобным образом).

Путь П₁₂ – критический путь, длительность его равны 270 дней; ближний к нему по времени П₁₅=268 дней (резерв времени этого пути равнее 2 дням) – подкритический путь; все остальные пути – ненапряженные; коэффициенты напряженности приведены в таблице 5.

Пути сетевого графика характеризуются также событиями, лежащими на них.

Таблица 4.

Пути и события сетевого графика

Обозначение пути, Пi	События (от исходного до завершающего), выделенные на каждом пути
П1	0,1,2,6,8,11,13,14,15,16
П2	0,1,2,3,6,8,11,13,14,15,16
П3	0,1,2,6,7,8,11,13,14,15,16
П4	0,1,2,3,6,8,13,14,15,16
П5	0,1,3,6,7,8,11,13,14,15,16
П6	0,1,3,6,8,11,13,14,15,16
П7	0,1,3,6,7,8,13,14,15,16
П8	0,1,3,6,8,13,15,16
П9	0,1,3,6,8,11,13,15,16
П10	0,1,3,6,8,11,12,13,14,15,16
П11	0,1,3,6,7,8,11,12,13,14,15,16
П12	0,1,2,3,5,7,8,11,12,13,14,15,16
П13	0,1,2,3,5,7,8,11,13,14,15,16
П14	0,1,2,3,5,7,8,13,14,15,16
П15	0,1,2,3,5,7,11,12,13,14,15,16
П16	0,1,2,3,5,7,11,13,14,15,16
П17	0,1,2,3,5,7,11,13,15,16
П18	0,1,2,3,5,7,11,12,14,15,16
П19	0,1,3,5,7,8,13,14,15,16
П20	0,1,3,5,7,8,11,13,14,15,16
П21	0,1,3,5,7,8,11,12,13,14,15,16
П22	0,1,3,5,7,8,11,12,13,15,16
П23	0,1,3,5,7,8,11,13,15,16
П24	0,4,5,7,8,11,12,13,14,15,16
П25	0,4,5,7,11,12,13,14,15,16
П26	0,4,5,7,11,13,14,15,16
П27	0,4,5,7,11,12,14,15,16
П28	0,4,5,7,11,12,13,15,16
П29	0,4,5,7,8,13,14,15,16
П30	0,4,5,7,8,13,15,16
П31	0,4,9,10,11,12,13,14,15,16
П32	0,4,9,11,12,13,14,15,16
П33	0,4,9,11,13,14,15,16
П34	0,4,9,10,11,12,13,15,16
П35	0,4,9,11,12,14,15,16
П36	0,4,9,10,11,12,14,15,16
П37	0,4,9,10,11,13,14,15,16
П38	0,4,9,10,11,13,15,16
П39	0,4,9,11,13,15,16
П40	0,4,12,13,14,15,16
П41	0,4,12,13,15,16
П42	0,4,12,14,15,16

Напряженность сроков выполнения работ сетевого графика характеризуется коэффициентом напряженности работ K^H_i-j (формула 14):

, где (14)

R_i-j – полный резерв времени данной работы, (i-j);

П_кр – продолжительность времени критического пути;

- суммарная продолжительность времени критических работ, попавших в максимальный путь, проходящий через данную работу Т_i-j, от нулевого до завершающего события.

Для работ, составляющих критический путь, R_i-j=0, поэтому K^H_i-j(кр)=1.

Расчет коэффициентов напряженности работ сетевой модели.

1. Коэффициент напряженности работы Т_1-3 равен

,

так как в максимальный путь, проходящий через работу Т_1-3 от исходного до завершающего события, не вошли только две работы, относящиеся к критическому пути, это Т_1-2 и Т_2-3, в сумме – 42 дня; т.е. ; П_кр =270; R_i-j определяется по одной из формул (6) или (7), а именно R_1-3 =52-25 или R_1-3 =37-10 (см. таблицу 5).

2. Коэффициент напряженности работы Т_2-6 равен

,

так как в максимальный путь, проходящий через работу Т_2-6 от исходного до завершающего события, не вошли три работы, относящиеся к критическому пути: Т_2-3, Т_3-5 и Т_5-7, поэтому .

3. Коэффициент напряженности работы Т_4-9 равен

.

Аналогично рассчитываются коэффициенты напряженности для всех остальных (некритических) работ, т.к. коэффициент напряженности работ, лежащих на критическом пути, равен 1.

Результаты приведенных расчетов занесены в графу «Коэффициент напряженности» таблицы 5.

Таблица 5

Расчет параметров сетевой модели и коэффициентов напряженности работ

№	Кол-во предшествующих работ h-i	Код работы	TР.Н.	Тi-j	ТР.О.	ТП.О.	Тi-j	ТП.Н.	Ri-j	KH
i	j
	-
	-										0,49
											0,36
											0,76
											0,49
											0,70
											0,33
											0,60
											0,39
											0,95
											0,70
											0,66
											0,70
											0,58
											0,25
											0,44
	-		-		-			-		-	-

Примечание:

Полный резерв времени для каждой работы R_i-j (для графы 11) рассчитывается по любой из двух формул:

[1] Волков С.Н., т.6, 2007, с. 356-367

Волков С.Н., Конокотин Н.Г, Юнусов А.Г. «Землеустроительное проектирование и организация землеустроительных работ», 1998 г., гл. 6

[2] Количественная оценка продолжительности работ условна, зависит от многих факторов.