Вопрос Кривые безразличия потребления в экономике(пример).
Вопрос Понятие функции нескольких переменных. Область определения фии двух переменных (примеры).
Определение: Переменная z, zÎZ, называется фии независимых переменных x y в множестве M если каждой паре (x y) их значений из N – по некоторому правилу или закону – ставится в соответствие одно определенное значение z (из Z).
Пример: Пусть k – объем затраченного капитала, l – объем затраченного труда, Q(k,l) – соответствующий им объем выпуска – функция двух переменных.
Областью существования (или областью определения) функции z=f(x;y) называется совокупность всех тех точек плоскости хОу, в которых z принимает действительные значения.
Пример:
Вопрос Линии уровня и график фии двух переменных (примеры).
Определение: линиями уровня ф-ии двух переменных называется множество точек на плоскости таких что во всех этих точках значение фии одно и тоже и равно некоторому числу С то есть линии уровня задаются уравнением f(x,y)=C
Пример: Линии уровня данной функции задаются уравнением . Линиями уровня являются окружности с центром в начале координат и радиусами . Например при С=3 окружность радиусом 1 или при С=1/3 окружность рад. 3.
(рис).
Вопрос Кривые безразличия потребления в экономике(пример).
Кривые безразличия потребления – линии уровня функции полезности. Пример: Q(k,l)=2k найти линии уровня данной функции. 2k =С Если С=1 то
Если С=2 то
Для любого сочетания труда и капитала лежащих на линии уровня С=4 объем производства будет одинаков и равен 4-м единицам.
4 Вопрос Кривые безразличия
производства(пример).
Кривые безразличия производства – линии уровня производственной фии.
Если 9-С <0, С>9 то пустое множество.
Если 9-С=0, C=9 то
Если 9-С>0, C<9 то окружность с центром (0;0) и радиусом .
5 Вопрос Понятие частных
производных первого и второго порядка(пример).
Частной производной по переменной х от функции z=f(x;y) называется предел
Обозначение .
Аналогично определяется и обозначается частная производная от z=f(x;y) по переменной у:
=
Таким образом, частная производная функции нескольких переменных (2-х, 3-х и больше) определяется как производная функции одной из этих переменных, при условии постоянства значений остальных независимых переменных.
Пример. Дана функция z=х2у3 + sin x - еу.
Решение.1) Считая у постоянной находим производную по х = 2ху3 + cos x
2) Считая х постоянной находим производную по у = 3y2x2 – ey
Частные производн и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка и обозначаются так:
; ;
; .
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным называется смешанной частной производной. Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции z=х4– х2у3+у5+1 Решение.
1) = 4х3 – 4ху3; = - 6х2у2 + 5у4;
2) = 12х2 – 4у3; = - 12х2у + 20у3;
= -12ху2; = - 12ху2.
Получили, что = . Так получается всегда