Интервалы для среднего нормальной совокупности

Сгенерируем выборку (столбец) из 20 наблюдений над нормальной случайной величиной со средним а = 10 и дисперсией s² = 4 и определим доверительные интервалы для а с уровнем доверия Р_Д : 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.999. Выполняется командой

Analisis - Descriptive staistics - в поле Statistics выбрать Conf. Limits for means и указывать значение Alpha error: 80 (90, 95 т.д.).

Выполнение в пакете SPSS

Уровень доверия

а) Генерация k = 50 выборок по n = 10 наблюдений, нормально распределенных с параметрами: среднее а = 10, дисперсия s ² = 4.

Выборки поместим в таблицу с 50 строками (выборками) и 10 (объем выборки) столбцами (при таком размещении сокращается работа по генерации наблюдений). В первом столбце таблицы выделяем клетку в 50-й строке и вводим точку. 50 строк создано.

Переименуем 1-й столбец:

Data - Define Variable - Name: x 01 - OK

Сгенерируем наблюдения:

Transform - Compute - Target Variable (целевая переменная): x 01, Numeric Expression (числовое выражение):

NORMAL (2) + 10

это выражение вводим кнопками окна - ОК.- Change? - OK.

В первом столбце наблюдения получены. Повторяем, начиная с Transform, заменив х 01 на х 02; и так 9 раз (5 нажатий на 1 столбец). Матрица наблюдений получена.

б) Оценка средних.

В пакете статистики определяются по столбцам (переменным), поэтому выборки-строки преобразуем транспонированием в выборки-столбцы:

Data - Transpose...- все имена переменных переносим в правый список Variables (выделяем все, нажимаем кнопку-стрелку) - ОК.

Теперь имеется 50 столбцов - выборок по 10 строк - наблюдений. Первый столбец case - lbl можно удалить:

выделим его - Edit - Clear (или клавиша Delete).

Определим среднее по выборкам:

Statistics - Summarize - Descriptives...- перенесем имена всех столбцов в правый список, отметим Display labels (имена показывать) - Options...- отметим только Mean; îòìåòèì Display Order: Name (показывать по порядку) - Continue - OK.

В окне Output получаем столбец Mean результатов. Если в столбце есть пропуски или текст, удаляем лишние строки, чтобы столбец результатов состоял из 50 строк с числами.

Сохраним столбец результатов в буфере операцией Copy. Снова транспонируем матрицу (чтобы в дальнейшем не было пустых блоков). Получили 10 числовых столбцов и 50 строк (выборок).

Выделяем 1-й справа свободный столбец и с помощью Edit - Paste помещаем в него столбец средних. Присвоим ему имя as:

выделим его - Data - Define Variable - Name: as

в) Определение столбцов а1 и а2 левых и правых концов доверительных интервалов.

Пусть Р_Д = 0.9, квантиль порядка (1 + Р_Д )/2 = 0.95 есть f_Р = 1.645. Вычислим левые концы:

Transform - Compute - Target Variable: a1, Numeric Expression (по (5), учитывая, что s = 2): as – 1.645 * 2/ SQRT(10).

Аналогично вычислим левые концы а2.

г) Результаты k = 50 испытаний доверительного интервала представим графически, предварительно образовав столбец а с истинным значением 10 параметра; затем:

Graphs - Line...- Multiple (несколько графиков), Values of individual cases - Define - Line Represent (представить линии): а, а1, а2 - ОК.

Наблюдаем график, из которого видно, сколько интервалов из 50 не содержат истинное значение. Записываем его; оно должно находиться приближенно в пределах 5 ± 2 » 5 ± 4. График распечатаем или сохраним: File - Save As...

д) Пусть Р_Д = 0.99; тогда f_Р » 2.57; если Р_Д = 0.999, то f_Р » 3.29. Повторим пп. в) и г) для этих значений Р_Д . Убеждаемся, что с ростом Р_Д число ошибок уменьшается, но ширина интервала увеличивается (чем надежнее гарантия, тем меньше она гарантирует).

Задание: провести аналогично k = 50 испытаний доверительного интервала (7) - (9) для случая неизвестной дисперсии.