Построение доверительного интервала для оценки среднего значения генеральной совокупности

Чтобы найти границы доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности необходимо выполнить следующие действия:

1) по полученной выборке объема n вычислить среднее арифметическое и стандартную ошибку среднего арифметического по формуле:

;

2) задать доверительную вероятность 1 – α, исходя из цели исследования;

3) по таблице t-распределения Стьюдента (Приложение 4) найти граничное значение t_α в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k = n – 1;

4) найти границы доверительного интервала по формуле:

.

Примечание: В практике научных исследований, когда закон распределения малой выборочной совокупности (n < 30) неизвестен или отличен от нормального, пользуются вышеприведенной формулой для приближенной оценки доверительных интервалов.

Доверительный интервал при n ≥ 30 находится по следующей формуле:

,

где u_a – процентные точки нормированного нормального распределения, которые находятся по таблице 7.

Вопросы для самопроверки:

1. Сущность метода оценки эффективности методики тренировки.

2. Нормальный закон распределения. Сущность, значение.

3. Основные свойства кривой нормального распределения.

4. Правило трех сигм и его практическое применение.

5. Оценка нормальности распределения малой выборки.

6. Какие критерии и в каких случаях используются для сравнения средних попарно зависимых выборок?

7. Что характеризует доверительный интервал? Методика его определения.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 – Критические точки распределения коэффициента корреляции. Односторонняя критическая область

n	α	n	α
0,05	0,01	0,05	0,01
	0,988	0,9995		0,400	0,543
	0,900	0,980		0,389	0,529
	0,805	0,934		0,378	0,516
	0,729	0,882		0,369	0,503
	0,669	0,833		0,360	0,492
	0,621	0,789		0,323	0,445
	0,582	0,750		0,296	0,409
	0,549	0,715		0,275	0,381
	0,521	0,685		0,257	0,358
	0,497	0,658		0,243	0,338
	0,476	0,634		0,231	0,322
	0,457	0,612		0,211	0,295
	0,441	0,592		0,195	0,274
	0,426	0,574		0,183	0,257
	0,412	0,558		0,173	0,242
				0,164	0,230

Двусторонняя критическая область

n	α	N	Α
0,05	0,01	0,05	0,01
	0,950	0,990		0,388	0,496
	0,878	0,959		0,381	0,487
	0,811	0,917		0,374	0,476
	0,754	0,874		0,367	0,470
	0,707	0,834		0,361	0,463
	0,666	0,798		0,322	0,435
	0,632	0,766		0,310	0,407
	0,602	0,736		0,292	0,384
	0,576	0,708		0,277	0,364
	0,553	0,684		0,253	0,333
	0,532	0,661		0,234	0,308
	0,514	0,644		0,219	0,288
	0,497	0,623		0,206	0,272
	0,482	0,606		0,196	0,258
	0,468	0,590		0,175	0,230
n	Α	n	Α
0,05	0,01	0,05	0,01
	0,456	0,575		0,160	0,210
	0,444	0,561		0,138	0,182
	0,433	0,549		0,124	0,163
	0,423	0,537		0,113	0,148
	0,413	0,526		0,098	0,128
	0,404	0,515		0,088	0,115
	0,396	0,505		0,062	0,081

Приложение 2 – Значения коэффициентов a_nk, используемых для расчета критерия W проверки нормальности распределения

k	n
	0,7071	0,6872	0,6646	0,6431	0,6233	0,6052	0,5888	0,5739
		0,1677	0,2413	0,2806	0,3031	0,3164	0,3244	0,3291
				0,0875	0,1401	0,1743	0,1976	0,2141
						0,0561	0,0947	0,1224
								0,0399
k	n
	0,5601	0,5475	0,5359	0,5251	0,5150	0,5056	0,4968	0,4886
	0,3315	0,3325	0,3325	0,3318	0,3306	0,3290	0,3273	0,3253
	0,2260	0,2347	0,2412	0,2460	0,2495	0,2521	0,2540	0,2553
	0,1429	0,1585	0,1707	0,1802	0,1878	0,1939	0,1988	0,2027
	0,0695	0,0922	0,1099	0,1240	0,1353	0,1447	0,1524	0,1587
		0,0303	0,0539	0,0727	0,0880	0,1005	0,1109	0,1197
				0,0240	0,0433	0,0593	0,0725	0,0837
						0,0196	0,0359	0,0496
								0,0163
k	n
	0,4808	0,4734	0,4643	0,4590	0,4542	0,4493	0,4450	0,4407
	0,3232	0,3211	0,3185	0,3156	0,3126	0,3098	0,3069	0,3043
	0,2561	0,2565	0,2578	0,2571	0,2563	0,2554	0,2543	0,2533
	0,2059	0,2085	0,2119	0,2131	0,2139	0,2145	0,2148	0,2151
	0,1641	0,1686	0,1736	0,1764	0,1787	0,1807	0,1822	0,1836
	0,1271	0,1334	0,1399	0,1443	0,1480	0,1512	0,1539	0,1563
	0,0932	0,1013	0,1092	0,1150	0,1201	0,1245	0,1283	0,1316
k	n
	0,0612	0,0711	0,0804	0,0878	0,0941	0,0997	0,1046	0,1089
	0,0303	0,0422	0,0530	0,0616	0,0696	0,0764	0,0823	0,0876
		0,0140	0,0263	0,0368	0,0549	0,0539	0,0610	0,0672
				0,0122	0,0228	0,0321	0,0403	0,0476
						0,0107	0,0200	0,0284
								0,0094
k	n
	0,4366	0,4328	0,4291	0,4254	0,4220	0,4188	0,4156	0,4127
	0,3018	0,2992	0,2988	0,2944	0,2921	0,2898	0,2876	0,2854
	0,2522	0,2510	0,2499	0,2487	0,2475	0,2463	0,2451	0,2439
	0,2152	0,2151	0,2150	0,2148	0,2145	0,2141	0,2137	0,2132
	0,1848	0,1867	0,1864	0,1870	0,1874	0,1878	0,1880	0,1882
	0,1584	0,1601	0,1616	0,1630	0,1641	0,1651	0,1660	0,1667
	0,1346	0,1372	0,1396	0,1415	0,1433	0,1449	0,1463	0,1475
	0,1128	0,1162	0,1192	0,1219	0,1243	0,1265	0,1284	0,1301
	0,0923	0,0955	0,1002	0,1036	0,1066	0,1093	0,1118	0,1140
	0,0728	0,0778	0,0822	0,0862	0,0899	0,0931	0,0961	0,0988
	0,0540	0,0598	0,0650	0,0697	0,0739	0,0777	0,0812	0,0844
	0,0358	0,0424	0,0483	0,0537	0,0585	0,0629	0,0669	0,0706
	0,0178	0,0253	0,0320	0,0381	0,0435	0,0485	0,0530	0,0572
		0,0084	0,0159	0,0227	0,0289	0,0344	0,0395	0,0441
				0,0076	0,0144	0,0206	0,0262	0,0314
						0,0068	0,0131	0,0187
								0,0062
k	n
	0,4096	0,4068	0,4040	0,4015	0,3989	0,3964	0,3940	0,3917
	0,2834	0,2813	0,2794	0,2774	0,2755	0,2737	0,2719	0,2701
	0,2427	0,2415	0,2403	0,2391	0,2380	0,2368	0,2357	0,2345
	0,2127	0,2121	0,2116	0,2110	0,2104	0,2098	0,2091	0,2085
	0,1883	0,1883	0,1883	0,1881	0,1880	0,1878	0,1876	0,1874
	0,1673	0,1678	0,1683	0,1686	0,1689	0,1691	0,1693	0,1694
	0,1487	0,1496	0,1505	0,1513	0,1520	0,1526	0,1531	0,1535
	0,1317	0,1331	0,1344	0,1356	0,1366	0,1376	0,1384	0,1392
	0,1160	0,1179	0,1196	0,1211	0,1225	0,1237	0,1249	0,1259
	0,1013	0,1036	0,1056	0,1075	0,1092	0,1108	0,1123	0,1136
	0,0873	0,9000	0,0924	0,0947	0,0967	0,0986	0,1004	0,1020
k	n
	0,0739	0,0770	0,0798	0,0824	0,0848	0,0870	0,0891	0,0909
	0,0610	0,0645	0,0677	0,0706	0,0733	0,0759	0,0782	0,0804
	0,0484	0,0523	0,0559	0,0592	0,0622	0,0651	0,0677	0,0701
	0,0361	0,0404	0,0444	0,0481	0,0515	0,0546	0,0575	0,0602
	0,0239	0,0287	0,0331	0,0372	0,0409	0,0444	0,0476	0,0506
	0,0119	0,0172	0,0220	0,0264	0,0305	0,0343	0,0379	0,0411
		0,0057	0,0110	0,0156	0,0202	0,0244	0,0283	0,0318
				0,0053	0,0101	0,0146	0,0188	0,0227
						0,0049	0,0094	0,0136
								0,0045
k	n
	0,3894	0,3872	0,3850	0,3830	0,3808	0,3789	0,3770	0,3751
	0,2684	0,2667	0,2651	0,2635	0,2620	0,2604	0,2589	0,2574
	0,2334	0,2323	0,2312	0,2302	0,2291	0,2281	0,2271	0,2260
	0,2078	0,2072	0,2065	0,2058	0,2052	0,2045	0,2038	0,2032
	0,1871	0,1868	0,1865	0,1862	0,1859	0,1855	0,1851	0,1847
	0,1695	0,1695	0,1695	0,1695	0,1695	0,1693	0,1692	0,1691
	0,1539	0,1542	0,1545	0,1548	0,1550	0,1551	0,1553	0,1554
	0,1398	0,1405	0,1410	0,1416	0,1420	0,1423	0,1427	0,1430
	0,1269	0,1278	0,1286	0,1293	0,1300	0,1306	0,1312	0,1317
	0,1149	0,1160	0,1170	0,1180	0,1189	0,1197	0,1205	0,1212
	0,1035	0,1049	0,1062	0,1073	0,1085	0,1095	0,1105	0,1113
	0,0927	0,0943	0,0959	0,0972	0,0986	0,0998	0,1010	0,1020
	0,0824	0,0842	0,0860	0,0876	0,0882	0,0906	0,0919	0,0932
	0,0724	0,0745	0,0765	0,0783	0,0801	0,0817	0,0832	0,0846
	0,0628	0,0651	0,0673	0,0694	0,0713	0,0731	0,0748	0,0764
	0,0534	0,0560	0,0584	0,0607	0,0628	0,0648	0,0667	0,0685
	0,0442	0,0471	0,0497	0,0522	0,0546	0,0568	0,0588	0,0608
	0,0352	0,0383	0,0412	0,0439	0,0465	0,0489	0,0511	0,0532
	0,0263	0,0296	0,0328	0,0357	0,0385	0,0411	0,0436	0,0459
	0,0175	0,0211	0,0245	0,0277	0,0307	0,0335	0,0361	0,0386
	0,0087	0,0126	0,0163	0,0197	0,0229	0,0259	0,0288	0,0314
		0,0042	0,0081	0,0118	0,0153	0,0185	0,0215	0,0244
				0,0039	0,0076	0,0111	0,0143	0,0174
						0,0037	0,0071	0,0104
								0,0035

Приложение 3 – Критические точки распределения критерия W Шапиро и Уилка, используемого для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

n	α	n	α	n	α
0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01
	0,767	0,753		0,901	0,863		0,934	0,910
	0,748	0,687		0,905	0,868		0,935	0,912
	0,762	0,686		0,908	0,873		0,936	0,914
	0,786	0,713		0,911	0,878		0,938	0,916
	0,803	0,730		0,914	0,881		0,939	0,917
	0,818	0,749		0,916	0,884		0,940	0,919
	0,829	0,764		0,918	0,888		0,941	0,920
	0,842	0,791		0,920	0,891		0,942	0,922
	0,850	0,792		0,923	0,894		0,943	0,923
	0,859	0,805		0,924	0,896		0,944	0,924
	0,866	0,814		0,926	0,898		0,945	0,926
	0,874	0,825		0,927	0,900		0,945	0,927
	0,881	0,835		0,929	0,902		0,946	0,928
	0,887	0,844		0,930	0,904		0,947	0,929
	0,892	0,851		0,931	0,906		0,947	0,929
	0,897	0,858		0,933	0,908		0,947	0,950

Приложение 4 – Критические точки распределения критерия t Стьюдента

Число степеней свободы k	Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)
0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
	6,31	12,71	31,82	63,66	318,31	636,62
	2,92	4,30	6,96	9,92	22,33	31,60
	2,35	3,18	4,54	5,84	10,21	12,92
	2,13	2,78	3,75	4,60	7,17	8,61
	2,02	2,57	3,36	4,03	5,89	6,87
	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21	5,96
	1,89	2,36	3,00	3,50	4,79	5,41
	1,86	2,31	2,90	3,36	4,50	5,04
	1,83	2,26	2,82	3,25	4,30	4,78
	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
	1,80	2,20	2,72	3,11	4,02	4,44
	1,78	2,18	2,68	3,05	3,93	4,32
	1,77	2,16	2,65	3,01	3,85	4,22
	1,76	2,14	2,62	2,98	3,79	4,14
	1,75	2,13	2,60	2,95	3,73	4,07
Число степеней свободы k	Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)
0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
	1,75	2,12	2,58	2,92	3,69	4,01
	1,74	2,11	2,57	2,90	3,65	3,97
	1,73	2,10	2,55	2,88	3,61	3,92
	1,73	2,09	2,54	2,86	3,58	3,88
	1,72	2,09	2,53	2,85	3,55	3,85
	1,72	2,08	2,52	2,83	3,53	3,82
	1,72	2,07	2,51	2,82	3,50	3,79
	1,71	2,07	2,50	2,81	3,48	3,77
	1,71	2,06	2,49	2,80	3,47	3,75
	1,71	2,06	2,49	2,79	3,45	3,73
	1,71	2,06	2,48	2,78	3,43	3,71
	1,70	2,05	2,47	2,77	3,42	3,69
	1,70	2,05	2,47	2,76	3,41	3,67
	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
	1,70	2,04	2,46	2,75	3,39	3,65
	1,68	2,02	2,42	2,70	3,31	3,55
	1,67	2,00	2,39	2,66	3,23	3,46
	1,66	1,98	2,36	2,62	3,16	3,37
∞	1,64	1,96	2,33	2,58	3,09	3,29
0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
Уровень значимости α (односторонняя критическая область)

Приложение 5 – Критические точки распределения критерия Уилкоксона, используемого для сравнения двух попарно зависимых выборок

n	α	n	α	n	α
0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01
		–
		–

Приложение 6 – Некоторые статистические функции табличного процессора Microsoft Excel

Функция	Описание
ДИСП	Оценивает дисперсию по выборке (логические значения и текст игнорируются).
ДОВЕРИТ	Возвращает доверительный интервал для среднего генеральной совокупности.
КВАДРОТКЛ	Возвращает сумму квадратов отклонений точек данного от среднего по выборке.
КОРРЕЛ	Возвращает коэффициент корреляции между двумя множествами данных.
МАКС	Возвращает максимальное значение из списка аргументов. Логические значения или текст игнорируются.
МЕДИАНА	Возвращает медиану исходных чисел.
МИН	Возвращает минимальное значение из списка аргументов. Логические значения или текст игнорируются.
МОДА	Возвращает значение моды множества данных.
ПИРСОН	Возвращает коэффициент корреляции Пирсона, r.
СРЗНАЧ	Возвращает среднее (арифметическое) своих аргументов, которые могут быть числами или именами, массивами или ссылками на ячейки с числами.
СТАНДОТКЛОН	Оценивает стандартное отклонение по выборке. Логические значения или текст игнорируются.
СТЬЮДРАСПОБР	Возвращает обратное распределение Стьюдента.
СЧЁТ	Подсчитывает количество чисел в списке аргументов.

Литература

1. Годик, М.А. Спортивная метрология : учеб. для ин-тов физ. культуры / М.А. Годик. М., 1988.

2. Основы математической статистики : уч. пособие для ин-тов физ. культуры / под общ. ред. В.С. Иванова. М., 1990.

3. Спортивная метрология : учеб. для ин-тов физ. культуры / под общ. ред. В.М. Зациорского. М., 1982.

4. Основы педагогических измерений. Вопросы разработки и использования педагогических тестов : учеб.-метод. пособие / под общ. ред. В.Д. Скаковского. Минск, 2009.

5. Гинзбург, Г.И. Расчетно-графические работы по спортивной метрологии / Г.И. Гинзбург, В.Г. Киселев. Минск, 1984.