Кинетические неустойчивости
Если гидродинамические неустойчивости являются, в основном, следствием пространственных неоднородностей, то кинетические вызываются неравновесностью функции распределения.
2.3.1.Пучковая неустойчивость.
Наглядным примеров неравновесной функции распределения является наличие в плазме пучка частиц, т.е. группы частиц обладающих выделенной скоростью. Исследование на устойчивость системы пучок – плазма производится на основе кинетической теории. Здесь мы воспользуемся результатами, изложенными в первой части курса при описании кинетического подхода к анализу распространения волн в плазме.
Рассмотрим систему, состоящую из электронного пучка, проходящего сквозь плазму. Будем интересоваться достаточно высокочастотными колебаниями, чтобы ионную компоненту можно было исключить из рассмотрения. Исходим из общего выражения для диэлектрической проницаемости :
В данном случае мы должны учесть электронную компоненту плазмы и пучок-группу электронов, движущуюся относительно основной плазмы с некоторой средней скоростью. Поэтому выражение (4.3.24) трансформируется в:
(2.3.1.1)
где
;
X – аргумент функции Крампа для электронной компоненты плазмы, X1 – для электронов пучка, имеющих среднюю скорость U1 (частота сдвинута в соответствии с допплеровским эффектом)и тепловой разброс, характеризуемый тепловой скоростью U1T
Исследуем вначале случай холодного пучка и холодной плазмы. Используя разложения функции Крампа температуру к нулю, получаем дисперсионное уравнение:
(2.3.1.2)
Здесь wpe -электронная ленгмюровская частота, a=n1 / n0 - отношение плотностей частиц пучка и плазмы, U - скорость частиц пучка. Полагаем a <<1.
Учитывая малость параметра a и принимая, что kççu не слишком близко к wpe , находим, что два из четырех корней уравнения (2.3.1.2) соответствуют ленгмюровским колебаниям, а два других равны:
(2.3.1.3)
Из формулы (2.3.1.3) видно, что при корни комплексны и один из них соответствует колебаниям, нарастающим с инкрементом
(2.3.1.4)
Эти колебания имеют групповую скорость, близкую к скорости частиц пучка и поэтому называются сносовыми. Если частота таких сносовых колебаний приближается к ленгмюровской, то-есть kççu1»wpe уравнения (2.3.1.3) и (2.3.1.4) теряют силу и (2.3.1.2) нужно исследовать другим способом.
Итак, полагаем, что в нулевом приближении частота колебаний близка к ленгмюровской:
(2.3.1.5)
и поправка к частоте по абсолютной величине сильно превышает разницу между ленгмюровсой частотой и kççu : . Тогда из (2.3.1.1) следует:
(2.3.1.6)
Отсюда получаем выражения для действительной и мнимой частей добавки к частоте нарастающих колебаний:
(2.3.1.7)
(2.3.1.8)
На границе применимости этих формул, выражения (2.3.1.4) и (2.3.1.8)дают близкие значения для инкремента нарастания колебаний. Следует отметить, что из-за пропорциональности инкремента кубическому корню из отношения плотности пучка к плотности плазмы, даже при малых плотностях пучка инкремент нарастания колебаний может быть значительным. Физическая природа такого относительно большого нарастания волн заключается в резонансе ленгмюровских плазменных колебаний основной плазмы и сносовых колебаний в пучке.
Оценим теперь влияние теплового разброса скоростей частиц на развитие колебаний, раскачиваемых пучком. Вернемся к дисперсионному уравнению(2.3.1.2). Как мы уже отмечали, приближению холодной плазмы соответствует случай . Поэтому общий критерий применимости этого приближения к данной задаче может быть записан в виде:
В случае пучка малой плотности, , ограничения на тепловой разброс более плотной компоненты состоит в требовании существенного превышения скоростью пучка средней скорости теплового движения
в то время как для менее плотной компоненты это требование оказывается более жестким:
Чтобы получить критерии более точные, чем сильные неравенства, нужно рассмотреть конечные значения аргумента x . При этом, с точностью до членов включительно,
можно найти максимальный (резонансный) инкремент колебаний, возбуждаемых «слегка нагретым» пучком в «слегка нагретой» плотной плазме:
(2.3.1.9)
Видно, что приближение холодного пучка плазмы дает правильный по порядку величины результат даже когда приведенные выше неравенства не являются сильными.
Физический смысл приведенных критериев заключается в требовании, чтобы среднее тепловое смещение частиц за характерное время (период колебаний, либо время обратного инкремента), измеренное в системе координат, движущейся с пучком, не должно превышать длину волны.
2.3.2. Раскачка ионного звука в плазме с током.
В первой части курса была отмечена возможность распространения ионно–звуковых волн в неизотермической плазме ( ). Эти волны могут раскачиваться в плазменном столбе при протекании по нему тока. Проанализируем эту ситуацию. Считаем, что электроны имеют максвелловское распределение по скоростям, сдвинутое на величину «токовой» скорости . Воспользуемся дисперсионным соотношением
(2.3.2.1)
Действительная часть диэлектрической проницаемости была определена нами ранее в гидродинамическом приближении, а мнимая часть определяется электронной компонентой в соответствии с формулой (4.3.14) первой части. Для принятой нами функции распределения электронов
откуда с помощью (4.3.17) из первой части
можно найти выражение для инкремента
, (2.3.2.2)
Здесь - угол между векторами и . Раскачка ионного звука, как видно из (2.3.2.2) становится возможной при , т.е. токовая скорость должна превышать фазовую скорость волн (скорость ионного звука).