Постановка задачи оптимизации в общей форме.

Лекция №1

Тема 1.1. Введение. Основы моделирования. Основные понятия и определения моделирования

Введение

Предмет Мат.Методы тесно переплетается с математическим моделированием, исследованием операций, т.к. в этих случаях практически всегда используются математические методы решения задач, моделирования систем и анализа их характеристик. Мат.методы и модели применяют с целью отыскания наилучшего решения, т.е. решения, оптимального в том или ином смысле (максимума и минимума).

"В мире не происходит ничего,в чем не был бы виден смысл
какого-нибудь максимума или минимума" (с) Леонард Эйлер

С незапамятных времен, человечество, используя метод проб и ошибок, интуиции и опыта, накапливаемого в каждой конкретной ситуации, создавало искусство выработки наилучших решений в самых разных областях своей деятельности. Человек всегда принимал решения и хотел чтобы они были правильными, оптимальными. В жизни почти всегда бывает так, что человек, владеющий разными инструментами (по своей профессии) и применяющий их в зависимости от характера выполняемой работы, добивается лучших результатов, чем человек, владеющий лишь универсальным приемом. В одних случаях можно выполнить вычисления устно, в других - необходим лист бумаги для расчетов, в-третьих - расчет на компьютере, в-четвертых - привлечение специальной программы оптимизационных расчетов. Нужно знать и уметь пользоваться универсальными и частными приемами, которые ведут к цели быстрее и легче.

Основные понятия

Решение - это определенный набор параметров и действий, зависящих от человека.

ЭЛЕМЕНТЫ РЕШЕНИЯ – это те параметры, которые образуют решение задачи.

Оптимальное решение - это те параметры, которые образуют решение задачи. "Оптимальное решение является наилучшим только в рамках использования данной модели. Не следует считать, что это действительно самое лучшее решение анализируемой задачи" (с) Х.Таха.
Оптимизация - это выбор наилучшего решения.

Математическая теория оптимизации включает в себя фундаментальные результаты и численные методы, позволяющие находить наилучший вариант из множества возможных альтернатив без их полного перебора и сравнения.

Принятие оптимального решения базируется на трех основных составляющих:

1) математической модели (дает быстрый ответ на поставленный вопрос и предоставляет возможность широкого экспериментирования);

2) решение задачи на компьютере (алгоритмы задач принятия решений настолько сложны, что без компьютера решить их невозможно);

3) исходных данных (определяют успех дела в целом).

Математическое моделирование имеет два существенных преимущества: дает быстрый ответ на поставленный вопрос, предоставляет возможность широкого экспериментирования, осуществить которое на реальном объекте зачастую невозможно. Для решения оптимизационных задач используются количественные методы решения. Применяют математический аппарат разной степени сложности: простые алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных.

Принятие любого решения всегда сопряжено с осуществлением операций.
Операция - это мероприятие, направленное на достижение какой-то цели.

Исследование операций - это использование математических и количественных методов для обоснования решения.

Исследование операций решает типичные экономические задачи:

1) План снабжение предприятие сырьём (Имеется N предприятий, M баз с ресурсами, запасы каждой базы ограничены. Требуется разработать план снабжения предприятия сырьем при минимальных расходах при перевозке).

2) Закладка дороги (Имеется заданное количество рабочих, машин, транспорта. Требуется спланировать строительство дороги в минимально возможные сроки).

3) Продажа сезонных товаров (Для реализации сезонного товара создается сеть торговых точек. Требуется определить их число, размещение, запасы, количество персонала для получения максимальной прибыли).

4) Контроль продукции (Допустим, выпускается определенный вид продукции. Для контроля качества организуется выборочная проверка. Требуется определить размер партии и правила проверки при минимальных расходах на контроль).

Показатель эффективности - это некоторые количественные критерии, по которым сравнивают решения между собой, его называют целевой функцией. Обозначается: W

Примеры выбора показателя эффективности:

1) если S - суммарные расходы на перевозку сырья, то П.Эф. S → min.

2) если Т - среднее ожидаемое время окончания стройки, то П.Эф. Т→min.

3) если P - прибыль от реализации продукции, то П.Эф. P→ max.

В большинстве задач на практике показатель эффективности выбрать очень сложно, т.к. эффективность в реальной жизни определяется не одним критерием, а несколькими.

Все задачи можно разделить на прямы и обратные.

ПРЯМЫЕ задачи отвечают на вопрос: что будет, если в заданных условиях выбрать некоторое решение Х.

ОБРАТНЫЕ задачи отвечают на вопрос: какое решение Х надо выбрать, чтобы показатель эффективности W был max или min.

Постановка задачи оптимизации в общей форме.

Пусть имеется некоторая операция О, на успех которой можно влиять, выбирая некоторым способом, решение Х, эффективность операции характеризуется одним показателем W → max. Когда все условия операции О определены заранее, то все факторы, от которых зависит успех операции делятся на две категории: заданные, заранее известные факторы α; зависящие от нас элементы решения, которые образуют решения х.

Показатель эффективности зависит от обеих групп факторов и выражается формулой:

W = W(α, x), (*)

в общем случае α, x – векторы (совокупность чисел). Если зависимость (*) известна, то прямая задача решена.

Обратная задача формулируется так: при заданном комплексе условий α требуется найти такое решение х = х*, которое обращает показатель эффективности W в max.

W* = max{W(α, x)}, где W*- мах. W* - это максимальное значение эффективности при найденном оптимальном решении х*.