МКЭ – инженерный подход
До сих пор мы знакомились с МКЭ как с проекционным методом со специальными координатными функциями. Полезно, особенно с практической, алгоритмической стороны и для понимания сути метода, познакомиться с подходом инженеров. Широкое использование при этом матричного формализма удобно при проведении конкретных вычислений.
Для иллюстрации инженерного подхода рассмотрим пример задачи о растяжении – сжатии стержня постоянного поперечного сечения под действием сил собственного веса (рис.7). Чтобы не вводить краевых задач с новыми краевыми условиями, будем считать, что концы стержня закреплены (В. П. Суслов и др. Строительная механика корабля и теория упругости. Л.: Изд. ЛКИ, 1972).
Рис.7. Стержень с закрепленными концами
Математически эта задача формулируется в виде краевой задачи (1.4), (1.5) при , , :
, ,
, ,
где модуль Юнга, приведенная объемная сила. Эквивалентная задача о минимуме квадратичного функционала представляет собой формулировку принципа минимума потенциальной энергии.
Будем решать эту задачу приближенно. Разобьем стержень точками на конечных элементов равной длины и будем считать, что на каждом элементе приближенное решение представляется линейной функцией. Поэтому для определения приближенного решения на его достаточно знать в двух точках. Пусть эти точки – концы элемента, т.е. узлы , . Обозначим приближенное решение через , его значения на концах – через и узловые значения.
Очевидно, что
, , (1.38)
где
, ,
, ,
, ;
, называются функциями формы конечного элемента.
Пусть
,
соответственно матрица-столбец и матрица-строка. Тогда соотношение (1.38) может быть записано в виде
, . (1.39)
Подставим приближенное решение в функционал удвоенной потенциальной энергии
.
Для этого представим его сначала в виде суммы функционалов, каждый из которых определен на своем элементе. Тогда
. (1.40)
С учетом того, что , ,
. (1.41)
Учитывая (1.38), (1.39), продольную деформацию и нормальное напряжение представим в виде
,
где
матрица строка, .
Введем в рассмотрение :
.
Тогда
,
где
матрица жесткости элемента.
Далее, так как
,
то
,
где определяется следующим образом:
;
.
Вектор называется вектором узловых сил элемента.
Таким образом, удвоенная потенциальная энергия элемента записывается в виде
. (1.42)
Она представляет собой квадратичную форму узловых значений элемента.
Подставим (1.42) в (1.40), получим
. (1.43)
Очевидно, что правая часть равенства (1.43) представляет собой квадратичную форму совокупности всех узловых значений на промежутке .
Между полным вектором неизвестных
,
и вектором неизвестных на элементе имеется вполне очевидная связь:
, (1.44)
где матрица порядка следующего вида:
Справедливость этого равенства проверяется непосредственно. Матрица называется матрицей кинематических связей.
Используя (1.44), перепишем (1.43) следующим образом:
где через и обозначены:
- глобальная матрица жесткости
, (1.45)
- глобальный вектор нагрузки
. (1.46)
Таким образом, удвоенная потенциальная энергия стержня на приближенном решении записывается в виде
. (1.47)
Отсюда следует, что на приближенном решении значение потенциальной энергии есть функция переменной , условием минимума которой является обращение в нуль производных первого порядка по переменным .
Проведя дифференцирование и приравняв полученные выражения для производных к нулю после сокращения на множитель 2, получим систему уравнений
. (1.48)
Действительно, пусть
, .
Тогда
,
,
-строка системы (1.48), умноженная на 2.
Здесь следует сделать важную оговорку. Система (1.48) не дает приближенное решение нашей задачи. Дело в том, что во всех рассуждениях мы считали все узлы равноправными, поэтому оказались не учтенными условия закрепления на концах промежутка (стержня). Чтобы их учесть, нужно положить , и заменить этими уравнениями первое и последние уравнения системы (1.48). Эти два уравнения системы (1.48) представляют собой условия свободного конца – естественные условия по нашей терминологии. После такой замены получаем искомую систему уравнений.
Можно вообще исключить и из системы, после чего получим систему относительно неизвестных значений с симметричной матрицей. Обозначим ее и пусть
, .
Тогда система запишется в виде
. (1.49)
Следует отметить, что система (1.49) совпадает с системой (1.25) при , , , которая ранее в матричной форме была записана в виде
.
Отметим также, что
.
Таким образом, мы изложили два подхода к построению одной и той же системы сеточных уравнений МКЭ.
Второй, инженерный подход важен при реальных вычислениях в алгоритмическом отношении. При этом следует отметить, что на практике при вычислении глобальных матриц жесткости и вектора нагрузки вовсе не обязательно выполнять перемножения матриц и умножения матриц на векторы, которые предписываются формулами (1.45) и (1.46).
Это объясняется простотой структуры матрицы . Проиллюстрируем процесс вычисления и на примере при .
Имеем
, ,
Матрицы кинематических связей, сопоставляющие вектору векторы и , очевидно имеют вид
, .
Таким образом:
;
;
;
;
;
Из приведенных формул следует, что умножение на и сводится к соответствующему окаймлению нулевыми строками и столбцами с сохранением симметрии. Соответственно изменяется вектор при умножении слева на матрицу . Эти наблюдения и позволяют осуществлять сборку матриц и . Именно так она осуществляется при реализации соответствующих алгоритмов.
Сходимость МКЭ
Весьма важной характеристикой для вычислительной практики любого приближенного метода является скорость стремления к нулю погрешности метода. Поясним подробнее.
Пусть семейство шагов сетки и пусть . Например, при , мы будем иметь последовательность шагов сетки. Пусть каждому значению соответствует сеточное решение, полученное методом сеток или МКЭ. Обычно в методе сеток под погрешностью метода имеют в виду величину , где некоторая сеточная норма; сеточная функция, построенная по точному решению ; приближенное решение, построенное методом сеток. Обычно это значения точного решения в узлах сетки.
Говорят, что метод сеток сходится, если
при .
Приведем примеры сеточных норм. Сеточная норма
является аналогом нормы пространства непрерывных функций, сеточная норма
является аналогом нормы в пространстве .
Если для всех , меньших некоторого , , выполняется неравенство
, ,
где постоянная не зависит от , то говорят, что метод сеток сходится со скоростью .
Под сходимостью методов Ритца и Галеркина, а следовательно, и МКЭ, естественно понимать тот факт, что последовательность приближенных решений – функций – сходится к точному решению в некоторой норме при , т.е. что погрешность
при .
Если при всех , меньших некоторого , имеет место неравенство
, ,
где постоянная не зависит от , то говорят, что МКЭ сходится со скоростью .
Отличие в подходе к вопросу о сходимости метода сеток и МКЭ связано с тем, что в методе сеток искомой является сеточная функция, тогда как в МКЭ приближенное решение – это функция, имеющая ту же область задания, что и точное решение.
Обратимся вновь к краевой задаче (1.4), (1.5). Докажем, что приближенное решение , построенное МКЭ, сходится к точному.
Приближенное решение является решением следующей вариационной задачи:
;
.
Путем интегрирования по частям легко показать, что
Так как не зависит от , то будет еще и решением такой задачи на минимум:
. (1.50)
Это очень важное соотношение. Используя введенную ранее в параграфе 1.5 энергетическую норму
|| || ,
перепишем (1.50) в виде
|| || || || . (1.51)
Равенство (1.51) означает, что приближенное решение является наилучшей в смысле энергетической нормы аппроксимацией точного решения функциями из , т.е. кусочно-линейными функциями. Тем самым оценка погрешности в МКЭ, так же как в других проекционных методах, сводится к классической задаче аппроксимации функций. Следствием (1.51) является неравенство
|| || || ||, (1.52)
где кусочно-линейная функция из , построенная по значениям в узлах сетки, т.е. кусочно-линейная интерполяция . Таким образом, вопросы сходимости метода и оценка скорости сходимости сведены к выяснению поведения величины || ||.
Оценки аппроксимации
Оценим величину || || в предположении, что . Прежде всего
|| || .
Проведем оценки на . Имеем
.
Возведем равенство в квадрат и проинтегрируем по промежутку . Получим
.
Оценим выражение в квадратных скобках, расширив промежуток интегрирования:
.
Применяя к последнему интегралу неравенство Кони – Буняковского, получим
.
В итоге на каждом интервале имеем
. (1.53)
Суммируя эти оценки, получим неравенство
.
Оценим теперь . На каждом интервале справедливо представление
,
так как . Используя это представление, а также оценку (1.53), получим сначала для промежутка , а затем для всего интервала оценку
.
Таким образом, доказаны аппроксимационные неравенства
, (1.54)
|| || .
Из (1.52) и (1.54) следует, что
|| || . (1.55)
Таким образом, показано, что МКЭ сходится со скоростью в энергетической норме. В силу эквивалентности и || || имеет место сходимость и в норме пространства .