Предполные классы двоичных функций

Определение:

Предполным классом К называется неполный класс, при добавлении любой функции , которая не принадлежит ему, получается класс полный.

Утверждение:

Предполный класс является замкнутым.

Доказательство: Допустим противное, что некоторый предполный класс К не замкнут: , тогда рассмотрим функцию

f

т.е. [ K,f ] не полный

Теорема:

В классе булевых функций есть ровно пять предполных классов : .

Доказательство:

В начале покажем, что данные классы являются предполными, а затем покажем, что других предполных классов нет.

1) Рассмотрим .

Данный класс содержит функции:

поэтому класс Т₀ не принадлехит классам Т₁, S, М, L.

Рассмотрим произвольную , тогда не принадлежит ни одному из пяти классов Поста, следовательно по теореме Поста является полной, следовательно класс является предполным.

2) Рассмотрим Т₁:

Рассмотрим произвольную не принадлежит ни одному из пяти классов, следовательно по теореме Поста является полной, следовательно предполный.

3) Рассмотрим S:

Рассмотрим не принадлежит ни одному из пяти классов Поста, следовательно по теореме Поста является полной, следовательно предполный .

4) Рассмотрим :

Рассмотрим не принадлежит ни одному из пяти классов, следовательно по теореме Поста система полна, следовательно предполный.

5) Рассмотрим L:

Рассмотрим не принадлежит ни одному из пяти классов, следовательно по теореме Поста система полна, следовательно предполная. Все перечисленные классы не полны по теореме Поста.

Покажем, что других предполных классов в нет.

Допустим противное, что - предполный :

, следовательно в данном классе :

РИС.1

в силу того, что класс - предполный, следовательно включение на рис.1 невозможно, т.к. если бы было наоборот, то рассмотрим , мы бы получили, что все функции системы сохраняют 0, поэтому полной система не является, следовательно не является предполным.

По этой же причине в классе должна быть, , должна быть , должна быть , должна быть , следовательно из этих включений следует, что система является полной, противоречие с предполнотой этой системы.

Упражнения:

Найдите определяющие выражения функций через суперпозиции функций системы.

1)

2)

3)

4)

5)

Определение:

Полной системой бул. функций в замкнутом классе К является система функций, которая принадлежит данному классу, и замыкание которой совпадает с самим классом

.

Определение:

Базисом в замкнутом классе К называют систему В, которая полна в этом классе, но любая собственная подсистема полной в классе не является.

Пример 1:Рассмотрим множество всех булевых функций Р₂. В этом множестве рассмотрим систему .Эта система полна по т. Поста .

Чтобы определить,что все собственные подсистемы не полны, достаточно рассмотреть лишь максимальные по включению собственные подсистемы данной, получаемые из данной удалением какой-либо функции.

Если ни одна из этих подсистем не является полной, то полной не является и любая другая собственная подсистема (докажите предыдущие утвеждения)

В данном примере максимальные собственные подсистемы не полны, значит является базисом в Р₂.

Пример 2:Является ли система базисом в Р₂?

, поэтому система полна, но собственная подсистема также полна, поэтому данная система не базис в Р₂.

Определение:

Скажем, что функция f не зависима от системы , если эта функция не принадлежит замыканию системы : .

Пример 1: Рассмотрим функцию и систему :

Утверждаем, что не зависит от этой системы. Действительно, все функции системы являются линейными, поэтому в силу того, что суперпозиция линейных функций есть линейная функция, замыкание этой системы принадлежит классу линейных функций, а — функция не линейная. Поэтому не зависит от данной системы функций.

Пример 2: Рассмотрим функцию и систему :

x₁ x₂

0 0 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 1 1 1 1

Значит, зависима от функции .

Примечание: если функция не является независимой от системы, то будем называть ее зависимой от данной системы.

Утверждение:

Если система функций базис в замкнутом классе К , то тогда каждая функция базиса независима от оставшихся.

Доказательство:

Предположим противное: пусть существует базис в котором некоторая функция является зависимой от оставшихся. Для определенности будем считать, что это поэтому выражается через некоторые суперпозиции функций системы , но тогда система также является полной в классе К, поэтому не является базисом. Утверждение доказано.

Пример 1:

базис в Р₂

Упражнение:Докажите справедливость обратного утверждения: пусть полная система в К, и любая функция системы не зависит от оставшихся, тогда система – базис в К.