Действия над событиями. Полная группа событий

Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.

Определение 1. Размещением из n элементов по m

называется любой упорядоченный набор из m

различных элементов, выбранных из генеральной

совокупности в n элементов.

Пример 1.Различными размещениями из трех

элементов {1, 2, 3} по два будут наборы

(1,2), (2,1), (1, 3), (3,1), (2,3),(3,2). Размещения

могут отличаться друг от друга как элементами,

так и их порядком. Число размещений обозначается

и вычисляется по формуле:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m называется

любой неупорядоченный набор из m различных элементов,

выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 2. Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются

{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Число сочетаний обозначается и вычисляется по формуле:

Определение 3. Перестановкой из n элементов

называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 3. Всевозможными перестановками множества,

состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются:

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов

обозначается и вычисляется по формуле

Случайный эксперимент. Примеры.

Случайным экспериментом или испытанием

называется осуществление какого-либо

комплекса условий, который можно практически или

мысленно воспроизвести сколь угодно

большое число раз. Основные особенности:

множественность исходов, непредвиденность

результата,многократность повторения

(при одних и тех же условиях),

наличие определённых закономерностей при

многократном повторении.

Примеры случайного эксперимента: подбрасывание

монеты, извлечение одной карты из перетасованной колоды.

Случайные события. Виды случайных событий.

Действия над событиями. Полная группа событий.

Противоположные события.
Результат (исход) испытания называется

событием

Виды событий: Различают события

совместные и несовместные. События называются совместными,

если наступление одного из них не исключает наступления другого.

В противном случае события называются несовместными.

Событие называется достоверным, если оно

обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если

оно не может произойти в условиях данного опыта.

Событие называется возможным, или случайным,

если в результате опыта оно может появиться,

но может и не появиться. События называются равновозможными,

если по условиям испытания ни одно из этих

событий не является объективно более возможным,

чем другие. Важным понятием является полная группа событий.

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу,

если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события.

Под противоположным событием понимается событие,

которое обязательно должно произойти, если не наступило

некоторое событие . Противоположные события несовместны

и единственно возможны. Они образуют полную группу событий.

Действия над событиями:

Суммой, или объединением, нескольких событий

называется событие, состоящее в наступлении

хотя бы одного из этих событий.

Произведением, или пересечением, нескольких событий

называется событие, состоящее в совместном

появлении всех этих событий.

4. Классическое определение вероятности. Привести пример.
Вероятность события равна отношению числа случаев ,

благоприятствующих ему, из общего числа единственно

возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

( .)

Пример вопросу №4. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид

электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным

образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность,

что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?

5. Геометрическая вероятность. Привести пример.
Пусть на плоскости задана некоторая область площадью ,

в которой содержится другая область площадью (рис. 3).

В область наудачу бросается точка. Чему равна вероятность того,

что точка попадет в область ? При этом предполагается, что наудачу

брошенная точка может попасть в любую точку области , и

вероятность попасть в какую-либо часть области пропорциональна

площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае

вероятность попадания в область при бросании наудачу точки в область

Таким образом, в общем случае, если возможность

случайного

появления точки внутри некоторой области на прямой,

плоскости или в пространстве определяется не положением

этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной

, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной

точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера

этой области к размеру всей области, в которой может

появляться данная точка.Это есть геометрическое определение вероятности.