Формула Ньютона-Лейбница (формула двойной подстановки). Для решения неравенств методом интервалов необходимо:
Билет.
Для решения неравенств методом интервалов необходимо:
а) Разложить выражение f x на множители канонического вида (количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителя всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной должны быть положительными). Пусть, например, f x = x−a x−b x−c x−d , где D f = − ;+ .
Замечание: если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, не четное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный. Но если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.
б) Найти все корни выражения, решив уравнение f x =0 . В нашем случае будут корни x=a x=b x=c x=d.
в) Отметить на числовой оси корни уравнения в порядке возрастания. Мы отмечаем числа a b c d. Пусть для удобстваb a c d. Эти числа разбивают числовую ось на 5 интервалов. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.
г) Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак <+> и далее знаки чередуются.
д) Выписать ответы неравенства в виде интервалов по схеме:
Если f x 0 , то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение f x сохраняет знак <->, а граничные точки интервалов не входят в ответ, так как знак сравнения неравенства строгий.
В нашем случае ответ x b;a c;d .
Если f x 0 , то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение f x сохраняет знак <+>, а граничные точки интервалов не входят в ответ, так как знак сравнения неравенства строгий.
В нашем случае ответ x − ;b a;c d;+ .
Если f x 0 , то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение f x сохраняет знак <->, а граничные интервалов точки входят в ответ, так как знак сравнения неравенства не строгий. В нашем случае ответ x b;a c;d .Если f x 0 , то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение f x сохраняет знак <+>, а граничные точки интервалов входят в ответ, так как знак сравнения неравенства не строгий. В нашем случае ответ x − ;b a;c d;+ .
Билет.
Иррациональным называют уравнение вида f(x)=g(x) n N n =1 .
Основной метод решения иррациональных уравнений – метод уединение радикала:
- При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени:
Проверка полученных решений (x1, x2, …) путем их подстановки в исходное уравнение:
• если исходное уравнение превращается в верное равенство, то полученные значения являются корнями уравнения;
• если исходное уравнение превращается в неверное равенство, то полученные значения являются посторонними корнями уравнения
Введение ограничения на неизвестную в виде условия g(x) 0 :
• условие неотрицательности правой части исходного уравнения, поскольку его левая часть по определению корней четной степени неотрицательна;
• при введении ограничения на неизвестную величину исходного уравнения 2kf(x)=g(x) сводится к решению системы f(x)=g2k(x); g(x) 0
2. При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может
Основные свойства иррациональных уравнений
1. Любой корень четной степени являются арифметическими, т.е. подкоренные выражения всегда неотрицательны и принимают только неотрицательные значения.
2. Любой корень нечетной степени определен при всех значениях подкоренного выражения и могут принимать любые значения.
3. Уравнение √(f(x)) = g{x) равносильно системе (здесь и далее под записью √(f(x)) будем понимать корень квадратный из выражения, стоящего в скобках):
{f(x)=(g(x))2,
{g(x)≥0.
Какими способами можно решать иррациональные уравнения?
1. Возвести обе части уравнения в одну и ту же степень.
2. Заменой переменной.
3. Способом умножения обеих частей на одинаковые выражения.
4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.
3).Билет.
Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство
f(-x) = f(x).
четные функции: y = /x/, y = x2, y = cos x
График четной функции симметричен относительно оси OY.
Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство
f(-x) = - f(x).
нечетные функции: y = 1/x, y = x3, y = sin x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arctg x
График нечетной функции симметричен относительно начала координат O.
Из определения четной и нечетной функции следует, что область определения X как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством:
если x принадлежит X, то и -x принадлежит X, т.е. X - симметричное относительно начала координат O множество
Билет.
А1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и проитом тока одна.
А2. Если две точки принадлежат плоскости, то и вся прямая ей принадлежит.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общию прямую на которой лежать все общие точки.
Следствия:
1. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
2. Если две разные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.
Билет.
Логарифм с греч. - показатель степени.
Опр.1: Логарифм положительного числа b, по основанию a называют такой показатель степени,в который нужно возвести число a, чтобы получить число b. X=logab
Основное логарифмическое тождество: alogab=b
Следствия: logaa=1; logaan=n; loga1=0
Билет.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Формула Ньютона-Лейбница (формула двойной подстановки)
(f непрерывна; F - первообразная для f).
Свойства интеграла :
Линейность
Аддитивность
Монотонность
Если и a < b, то В частности, если то
Билет.