Пределение смешанности оценок коэффициентов модели

По плану, представленному в таблице 1.1 можно определить коэффициенты b₀, b₁, b₂ и b₃ для модели вида y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃. Однако эти коэффициенты будут смешаны с парными взаимодействиями.

При значительном числе факторов и опытов определение смешанности по МП является трудоемким. Для нахождения, при каких факторах и взаимодействиях оценки коэффициентов будут смешанными, вводят понятие определяющего контраста плана. Контраст получают умножением обеих частей генератора плана вводимого дополнительного фактора х_j на этот фактор. Например, поскольку для ДФЭ (таблица 1.1) генератор плана x₃= x₁x₂, то для контраста получим x₃²=x₁x₂x₃, так как x_i=1, окончательно имеем:

1=x₁x₂x₃.

Чтобы определить, с какими факторами и взаимодействиями смешана оценка фактора x_i необходимо умножить обе части контраста на это фактор. Например, для x₁ имеем: x₁₌x₁²x₂x₃₌x₂x₃, тo есть b₁ оценивает одновременно β₁ и β₂₃. Для фактора x₂ имеем x₂= x₁x₂²x₃= x₁x₃, а для x₃ — x₃= x₁x₂x₃²₌ x₁x₂. Записывается это так:

b₁→β₁+β ₂₃,

b₂→β₂+β ₁₃,

b₃→β₃+β ₁₂,

где β_i — действительные значения коэффициентов b_i.

В зависимости от числа факторов, входящих в контраст, говорят о разре­шающей способности ДФЭ. Так, если для ДФЭ типа 2^4-1 в качестве генератора плана выбрано x₄=x₁x₂x₃ (контраст соответственно будет 1=x₁x₂x₃x₄), то говорят, что у такого эксперимента разрешающая способность равна 4; если генератор x₁x₂=x₄ и контраст 1=x₁x₂x₄, то разрешающая способность равна 3; генераторы плана с наибольшей разрешающей способностью называют главными и отдают им предпочтение.

Если вводится не один, а несколько дополнительных факторов, то получаем несколько генераторов плана (свой для каждого дополнительного фактора). В этом случае для определения смешанности оценок используют обобщающий контраст, который строится из отдельных контрастов, а также их произведений во всевозможных сочетаниях.

Пусть, например, для ДФЭ 2^5-2 в качестве генераторов выбраны соотношения x₄=x₁x₂ и x₅=x₁x₂x₃, контрасты будут соответственно представлены как 1=x₁x₂x₄ и 1=x₁x₂x₃x₅, тогда обобщающий контраст будет равен

1=x₁x₂x₄=x₁x₂x₃x₅=x₃x₄x₅.

Для определения смешанности нужно перемножить все составляющие обобщающего контраста на соответствующие факторы:

для x₁: x₁=x₂x₄=x₂x₃x₅=x₁x₃x₄x₅;

для x₄: x₄=x₁x₂=x₁x₂x₃x₄=x₃x₅.

Тогда для смешанности оценок получим:

b₁→β₁+ β₂₄+β₂₃₅+β₁₃₄₅,

b₄→β₄+ β₁₂+β₃₅+β₁₂₃₄.

Необходимо отметить, что следствием уменьшения числа опытов по сравнению с ПФЭ является и уменьшение точности оценок, вызванное их смешанностью.

ПФЭ, в которых учитываются только линейные эффекты факторов, считаются ненасыщенными планами. При включении в план эксперимента взаимодействий факторов насыщение плана увеличивается. Планы, в которых учитываются все взаимодействия, называют насыщенными. ДФЭ, построенные на принципе введения дополнительных факторов вместо некоторых взаимодействий, являются насыщенными планами. Чем выше порядок дробной реплики, тем более насыщенным считается план.

Необходимо учитывать, что для насыщенного эксперимента невозможна проверка адекватности ММ, так как степени свободы использованы для вычисления эффектов взаимодействия факторов.

2. Порядок постановки ДФЭ и исследования свойств регрессионной модели

При ДФЭ стандартизация масштабов факторов, порядок постановки опытов, проверка воспроизводимости опытов, расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения, исследование свойств регрессионной модели (проверка статистической значимости коэффициентов модели, анализ адекватности полученной ММ) и переход к физическим переменным производится так же, как и при ПФЭ [1].

3. Пример использования ДФЭ

3.1. Постановка задачи.

Рассматривается задача определения закономерности изменения времени задержки t_з ( измеряется в наносекундах) в интегральной транзисторно-транзисторной логической схеме в заданной области изменения параметров интегральных компонентов

t_з=f(N,R1,R2,R3,R4), (3.1)

где N — коэффициент разветвления по выходу, R1- R4 — резисторы. Необходимо построить модель закономерности изменения времени задержки схемы на основе ДФЭ. Параметры схемы изменяются в следующих пределах: N≥15, 0,5≤ R1≤10 кОм, 0,5≤ R2≤10 кОм, 0,05≤ R3≤1 кОм, 0,1≤ R4≤2 кОм.

3.2. Организация и проведение ДФЭ типа 2^5-3.

Для планирования эксперимента выберем центр плана, интервал варьирования и определим уровни (2.2) из [1] изменения каждого фактора. Результаты планирования приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 — Условия проведения эксперимента

Характеристика плана	Стандартный масштаб xi	Натуральный масштаб
x1=N	x2=R1, кОм	x3=R2, кОм	x4=R3, кОм	x5=R4, кОм
Нулевой уровень					0,5
Верхний уровень	+1		6,4	6,4	6,2	1,25
Нижний уровень	-1		3,6	3,6	3,8	0,75

Для построения МП ДФЭ из имеющихся5 факторов выберем 3 – коэффициент разветвления и резисторы R1, R2 – и построим МП ПФЭ (таблица 3.2).

Таблица 3.2 — Матрица планирования ПФЭ 2³

№ опыта	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3
		-1	-1	-1				-1
			-1	-1	-1	-1
		-1		-1	-1		-1
				-1		-1	-1	-1
		-1	-1			-1	-1
			-1		-1		-1	-1
		-1			-1	-1		-1

В качестве генератора плана выберем соотношения для x₄= x₁x₂ и для x₅= x₁x₃. В этом случае будем иметь ДФЭ типа 2^5-2, МП которого представлена в таблице 3.3.

Таблица 3.3 — Матрица планирования ДФЭ 2^5-2

№ опыта	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x2x3	x1x2x3
		-1	-1	-1				-1
			-1	-1	-1	-1
		-1		-1	-1		-1
				-1		-1	-1	-1
		-1	-1			-1	-1
			-1		-1		-1	-1
		-1			-1	-1		-1

В таблице 3.4 представлены результаты параллельных опытов в последовательности, представленной в таблице 3.3.и вычислены среднее значение отклика и дисперсия для каждой точки факторного пространства соответственно соотношениям (2.3) и (2.4) из [1].

Таблица 3.4 — Результаты эксперимента

№	y1	y2	y3	y4	y5	ycp	s2y
	23,38	23,00	24,03	22,94	23,58	23,39	0,009
	21,86	22,19	21,87	23,68	23,05	22,53	0,067
	21,57	21,88	21,89	20,91	20,47	21,34	0,191
	18,13	19,79	19,46	18,75	18,89	19,00	0,003
	37,20	38,67	39,08	38,85	37,66	38,29	0,099
	38,40	41,80	40,39	38,78	39,91	39,86	0,001
	32,18	34,72	33,16	35,03	33,06	33,63	0,081
	34,02	33,25	32,12	31,72	33,25	32,87	0,036
						s2воспр=	0,061

Проведем анализ воспроизводимости опыта на основе критерия Кохрена в соответствии с (2.5) в [1]: G_расч=0,485, табличное значение критерия определяем при уровне значимости α=0,05 и степенях свободы γ₁=m-1=4, γ₂=N=8, получаем G_табл(α;γ₁;γ₂)=0,502. Так как G_расч< G_табл, опыт является воспроизводимым, и его результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессионного уравнения.