Темы практических занятий по Разделу 2
1. Векторы и линейные пространства.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
2. Уравнения прямых и плоскостей.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
3. Матрицы и операции с ними.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
4. Определители и их свойства. Вычисление определителей, применение определителей.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
5. Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Решение произвольной системы методом Гаусса.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
6. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. Нахождение фундаментальной системы решений. Построение общего решения неоднородной системы.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
7. Нахождение псевдорешения несовместной системы линейных алгебраических уравнений.
Литература: [5].
8. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейных операторов.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
9. Элементарные понятия теории вероятностей.
Литература: [11], [12], [13], [15].
10. Элементы комбинаторики. Решение задач с использованием классического определения вероятности.
Литература: [11], [12], [13], [15].
11. Условная вероятность. Независимые события и формула умножения вероятностей. Формула сложения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса.
Литература: [11], [12], [13], [15].
12. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
Литература: [11], [12], [13], [15].
13. Локальная и интегральная формулы Лапласа.
Литература: [11], [12], [13], [15].
14. Дискретные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.
Литература: [11], [12], [13], [15].
15. Непрерывные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.
Литература: [11], [12], [13], [15].
16. Центральная предельная теорема.
Литература: [11], [12], [13], [15].
17. Двумерные случайные величины
Литература: [11], [12], [13], [15].
ФОРМЫ КОНТРОЛЯ И ОТЧЕТНОСТИ
Формы контроля
В качестве оценочных средств программой дисциплины предусматривается:
· текущий контроль (аудиторные контрольные работы, домашние контрольные работы, домашние задания).
· промежуточный контроль.
Очная форма обучения, 4 года.
Промежуточный контроль изучения дисциплины проводится в форме письменного экзамена в 1-ом и 2-ом семестре. Итоговая оценка за экзамен выставляется в форме “неудовлетворительно”, “удовлетворительно”, “хорошо”, “отлично” и в баллах по 100-бальной шкале:
· “неудовлетворительно” – менее 51 балла;
· “удовлетворительно” – от 51 до 69 баллов;
· “хорошо” – от 70 до 85 баллов;
· “отлично” – свыше 85 баллов;
и формируется:
· аттестационными баллами семестра (80);
· экзаменационным баллом (20).
Вопросы для подготовки к экзамену
Формулировки теоретических вопросов, предлагаемых на экзамене, повторяют формулировки тем, перечисленных в содержании программы. Например:
· Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.
· Проверка статистических гипотез.
· и т.д.
Примеры задач, предлагаемых в контрольных работах, на экзамене.
Раздел 1
1. Дать формальное (с использованием таблицы истинности посылок и заключения) доказательство теоремы:
Дано: Если не готовиться к экзамену – получишь двойку.
Если получишь двойку – не будет стипендии.
Доказать: Если не готовиться к экзамену – не будет стипендии.
2. Используя метод математической индукции, доказать, что для геометрической прогрессии (т.е. последовательности ) сумма первых n членов равна .
3. 60% студентов читают журнал «Огонек», 50% ‑ «Урал», 50% ‑ «Юность», 30% ‑ журналы «Огонек» и «Урал», 20% ‑ «Урал» и «Юность», 30% ‑ «Огонек» и «Юность», 10% ‑ все три журнала. Сколько студентов читают какие-нибудь два журнала? Сколько не читают ни одного?
4. Построить отображение отрезка [-1, 1] в отрезок [0, 1], так, чтобы это отображение: а) было взаимно однозначным соответствием; б) не было взаимно однозначным соответствием.
5. Доказать, что множество всех правильных многоугольников является бесконечным.
6. Исследуйте бинарное отношение (x,y) , x+y=8 , на множестве X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Является ли данное отношение рефлексивным, симметричным, транзитивным, антисимметричным?
7. Дано множество X={-4,-3,-2,1,2,3}. Доказать, что следующее отношение (x,y), ‑ есть отношение эквивалентности, и построить соответствующее разбиение множества X на классы эквивалентности.
8. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность сходятся к числу 0.
9. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность сходится к 1.
10. Найти предел последовательности .
11. Найти предел последовательности .
12. Найти предел .
13. Пусть последовательность - ограничена, - бесконечно большая. Доказать, что последовательность бесконечно малая.
14. Дана f(x) = 2x2 + x - 3. Построить графики y = f(x) , y = |f(x)|. При каких значениях параметра а уравнение |f(x)| = a имеет четыре корня?
15. Дана функция Построить ее график; решить неравенство y<0; решить уравнение |y-1| = 1.
16. Построить график функции .
17. Используя определение предела функции (на языке последовательностей) найти .
18. Найти предел .
19. Найти предел .
20. Пусть
При каком выборе числа функция будет непрерывной в точке ?
21. Доказать, что уравнение имеет точно один корень на отрезке [1, 2].
22. Доказать, что уравнение имеет один положительный корень, меньший 1.
23. Пусть . Найти приращение функции и отношение в точке если а) , б) , в) , г) , д) , е) . Объяснить результаты.
24. Используя определение производной найти производную функции .
25. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 12 ?
26. На параболе взяты две точке с абсциссами и . Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?
27. Найти производную для функции . Найти третью производную для функции .
28. Функции спроса q и предложения s от цены p имеют вид q=7-p, s=p+1. Найти равновесную цену, эластичности спроса и предложения для этой цены, изменение спроса, предложения и дохода (в %) при увеличении цены на 5% от равновесной.
29. На сколько процентов изменится (приближенно) площадь круга, если его радиус изменится на 1% ?
30. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
31. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.
32. Исследовать функцию и построить ее график: .
33. Исследовать функцию и построить ее график: .
34. Исследовать функцию и построить ее график: .
35. Исследовать функцию и построить ее график: .
36. Исследовать функцию и построить ее график: .
37. Вычислить неопределенный интеграл .
38. Используя метод замены переменной, вычислить неопределенные интегралы: а) ; б) .
39. Используя метод интегрирования по частям, вычислить неопределенные интегралы: а) ; б) .
40. Вычислить определенные интегралы: а) ; б) ; в) .
41. Найти область определения функции двух переменных .
42. Построить линии уровня для функции .
43. Построить линии уровня для функции .
44. Найти предел функции в точке М(0,0).
45. Доказать, что функция не имеет предела в точке М(0,0).
46. Найти частные производные функций: а) ; б) .
47. Для функции найти частные производные второго порядка.
48. Зависимость объема производства от капитальных затрат и затрат труда описывается функцией Кобба-Дугласа . Найти дифференциал и частные эластичности этой функции. Пусть ; на сколько процентов изменится объем производства, если капитальные затраты увеличить на 4%, а затраты труда снизить на 2%?.
49. Пусть . Найти .
50. При условии постоянства объема производства неявная зависимость затрат труда от капитальных затрат описывается соотношением . Рассчитать производную . Какой она имеет смысл?
51. Найти экстремумы функции .
52. Найти экстремумы функции .
53. Найти экстремумы функции .
54. Найти экстремумы функции .
55. Найти максимум функции Кобба-Дугласа при условии .
56. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области .
57. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области .
58. Рассчитать двойной интеграл , если область .
59. Рассчитать двойной интеграл , если область D ограничена линиями .
60. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
61. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
62. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
63. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
64. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
65. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Раздел 2
1. Являются ли компланарными (т.е. лежат ли в одной плоскости) три вектора: ?
2. Являются ли линейно зависимыми три вектора: ?
3. Пусть . Найти координаты вектора .
4. Две прямые на плоскости задаются уравнениями и . Параллельны ли эти прямые? Каково между ними расстояние?
5. Пусть . Найти матрицу .
6. Дана матрица . Вычислить ее определитель. Найти миноры элементов и алгебраические дополнения элементов .
7. Найти ранг матрицы .
8. Решить методом обратной матрицы и методом Крамера систему линейных алгебраических уравнений:
9. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:
10. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:
11. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений , а также ее общее решение.
12. Найти нормальное относительно вектора псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений: .
13. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей
14. В коробке 12 шаров: 3 белых, 4 черных, 5 красных. Какова вероятность вынуть из коробки черный шар?
15. В коробке 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара ‑ белые?
16. В лотерее 2000 билетов. Из них выигрышные:
1 – 100 руб., 4 по 50 руб., 10 по 20 руб., 20 по 10 руб.,
165 по 5 руб., 400 по 1 руб.
Какова вероятность выиграть по одному билету не менее 10 руб.?
17. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?
18. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 – выигрышные и 500 – невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?
19. На экзамене из 30 студентов некоторой группы 6 получили «отлично», 10 – «хорошо», 9 –«удовлетворительно», остальные – «неуд». Какова вероятность того, что все трое студентов этой группы, встреченные деканом в буфете, получили на экзамене «неуд»?
20. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов выигрышный?
21. Из колоды, содержащей 52 карты, наугад вынимают 4 карты. Какова вероятность того, что все эти карты разных мастей?
22. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
23. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Какова вероятность того, что оба шара белые?
24. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.75, для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
25. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.
26. На экзамен пришли студенты из двух групп: 60% пришедших – из 101-й группы, 40% ‑ из 102-й. По прогнозам в 101-й группе будет 20% неуспевающих, а в 102-й – 15%. Какова вероятность того, что наугад вызванный студент не получит двойку?
27. В поликлинике работают два врача. Вероятность попасть на прием к врачу А равна 0.6, а к врачу Б – 0.4. Вероятность ошибочного диагноза у А равна 0.03, а у Б – 0.08. Больной побывал в поликлинике и ему поставили неверный диагноз. Определить вероятность того, что диагноз поставлен врачом А? Врачом Б?
15. В коробке 10 белых и 5 черных шаров. Вынули 4 шара. Какова вероятность того, что среди них оказалось 3 белых?
28. В группе 25 человек. Какова вероятность того, что хотя бы двое из них празднуют свой день рождения в один и тот же день?
29. В автобусе 40 пассажиров, среди которых 5 преступников. На допрос пригласили шестерых наугад выбранных пассажиров. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один преступник?
30. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого первого выпадет орел. Число бросков не ограничивается. а) Какова вероятность выигрыша бросавшего первым? Вторым? б) Какими станут вероятности выигрыша, если бросающий вторым делает по два броска?
31. В контрольной работе 3 задачи, для каждой указано 5 вариантов ответов, один из которых правильный. Для положительной оценки достаточно решить 2 задачи. Какова вероятность положительной оценки, если отвечать наугад?
32. В тесте 25 вопросов. На каждый приведено 3 ответа, один из которых верный. Для зачета достаточно правильно ответить на 15 вопросов. Какова вероятность получить зачет, отвечая наугад?
33. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятность рождения мальчика и девочки одинакова.
34. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии исключен): больше 1 партии из 4 или больше 2 партий из 5?
35. В помещении 4 лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0.8. Найти вероятность того, что к концу года останутся гореть 3 лампы.
36. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания мяча при каждом броске равна соответственно 0.6 и 0.7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.
37. В страховой конторе застраховано 10 000 клиентов одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти клиента в течение года равна 0,006. Каждый клиент 1 января вносит 12 долларов. Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить его родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что: а) контора разорится; б) контора получит не менее 40000 долларов прибыли?
38. Банк выдал 1000 кредитов на год по 500 т.р. под 10% годовых (возврат 550 т.р.). Вероятность возврата кредита каждым клиентом 90%. Какой будет прибыль банка, гарантированная с вероятностью 95% ?
39. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей 1 руб. Найти распределение случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
40. Кубик брошен 3 раза. Написать распределение числа появлений шестерки. Построить функцию распределения.
41. Стрелок трижды стреляет по мишени. Число попаданий – случайная величина Х. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.3. Построить распределение случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение. Проверить выполнение «правила трех стандартных отклонений».
42. В коробке 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынимают 2 шара. Случайная величина Х – сумма номеров вынутых шаров. Построить распределение случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение. Проверить выполнение «правила трех стандартных отклонений».
43. Дана функция плотности вероятности некоторой случайной величины:
Определить и функцию распределения .
44. Случайная величина , принимающая значения на отрезке [0,1], имеет плотность вероятности . Какова функция распределения этой случайной величины? Нарисуйте графики и . Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
45. Случайная величина , принимающая значения на промежутке (0,2), имеет плотность вероятности при и при . Какова функция распределения этой случайной величины? Нарисуйте графики и . Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
46. Случайная величина , принимающая значения на отрезке , имеет равномерное распределение. Какова плотность распределения и функция распределения этой случайной величины? Нарисуйте графики и . Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
47. Случайная величина , принимающая значения на отрезке , имеет плотность вероятности . Найдите функцию распределения этой случайной величины. Нарисуйте графики и . Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
48. Радиус круга измерен приближенно на интервале (a,b). Полагая, что радиус является случайной величиной, распределенной равномерно на этом интервале, найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.
49. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и дисперсией, соответственно равными 10 и 25. Найти вероятность того, что при испытании эта случайная величина примет значение: а) из промежутка (20, 30); б) большее 15?
50. Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя дальность полета снаряда 10 000 м. Предполагая, что дальность полета распределена по нормальному закону с дисперсией 1600 м2, найдите, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 100 до 200 м.
51. При средней длине некоторой детали в 20 см найдено, что отклонения, превосходящие см, встречаются в среднем 4 раза на 100 деталей. Считая, что длина детали распределена по нормальному закону, определите ее стандартное отклонение.