Измерения и обработка результатов. Определение отношения теплоемкостей газа

Лабораторная работа 21

Определение отношения теплоемкостей газа

Цель работы: Найти величину отношения CP/CV для воздуха.

Оборудование: Закрытый стеклянный баллон с двумя трубками и краном; манометр; ручной нагнетательный насос.

Теоретические сведения

Основными параметрами, характеризующими состояние газа, являются давление P, объем V и температура Т. Связь между этими параметрами для идеального устанавливается уравнением Клапейрона-Менделеева:

где m – масса одного киломоля газа, кг; m – масса газа, кг; Т – абсолютная температура газа, К; R = 8,31×10³ Дж/кмоль×К – универсальная газовая постоянная.

Если известны два из трех основных параметров газа, то третий может быть выражен через них. При изменении всех трех параметров газа начальные параметры (p₁, V₁, T₁) связаны с новыми параметрами того же количества газа (p₂, V₂, T₂) равенством .

Удельной теплоемкостью вещества называется физическая величина, численно равная количеству энергии в форме теплоты, которое надо сообщить единице массы этого вещества для увеличения его температуры на 1 Кельвин:

, [Дж/кг×К]

Величина теплоемкости зависит от характера процесса нагревания газа. Если газ нагревают, сохраняя его объем постоянным (изохорно), говорят об удельной теплоемкости газа при постоянном объеме c_V. Если же газ нагревают, сохраняя постоянным его давление (изобарно), то говорят об удельной теплоемкости газа при постоянном давлении с_Р.

Часто пользуются молярной теплоемкостью С, которая, в отличие от удельной теплоемкости, отнесена не к единице массы (1 килограмму), а к массе одного киломоля вещества. Очевидно, что

C = mc, [Дж/кмоль×К].

Для газов молярную теплоемкость, рассчитанную при постоянном давлении, обозначают С_Р, а рассчитанную при постоянном объеме – С_V. Следовательно, С_Р= m×c_P, C_V = m×c_V.

Когда нагревание газа происходит при постоянном объеме, газ не совершает механической работы и все сообщаемое газу тепло идет только на увеличение его внутренней энергии DU, т.е.

DQ = m×c_V×DT = DU.

Если же нагревание газа происходит при постоянном давлении и, следовательно, объем газа увеличивается, то сообщаемое газу тепло DQ идет как на увеличение его внутренней энергии DU, так и на совершение газом работы DA над внешними телами, т.е. DQ = m×c_P×DT = DU + DA.

Из сопоставления формул следует, что c_P > c_V, т.е. удельная теплоемкость газа при постоянном давлении больше удельной теплоемкости того же газа при постоянном объеме. При этом

c_P = c_V + R.

В данной работе требуется определить не абсолютные значения теплоемкостей газа, а их отношение, называемое коэффициентом Пуассона:

Расширение газа, осуществляемое без теплообмена с окружающей средой, приводит к изменению состояния газа, называемому адиабатным. При адиабатном сжатии изменяются не только объем и давление газа, но и его температура. Это изменение температуры газа происходит вследствие того, что за счет работы, затрачиваемой на сжатие газа, увеличивается его внутренняя энергия. Следовательно, уменьшение объема газа при адиабатном сжатии должно повлечь за собой большее, чем при изотермическом (Т = const) сжатии, увеличение давления. Так как при адиабатном процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, работа, совершаемая газом при его расширении, осуществляется за счет уменьшения внутренней энергии газа. Адиабатные расширение и сжатие газа описываются уравнением Пуассона:

p×V ^g = const или p×T ^g^/^g^{– 1} = const.

Поскольку c_P > c_V, то g >1.

На рис. 1 на pV-диаграмме сплошной линией изображена кривая, описывающая адиабатное расширение газа, а пунктирной линией – изотерма. Видно, что адиабата идет круче, чем изотерма. При быстром расширении или сжатии газа тепло не успевает пройти через стенки сосуда в окружающую среду, так что процесс такого расширения или сжатия близок к адиабатному. Давление газа при его сжатии растет как вследствие уменьшения объема, так и вследствие повышения его температуры, вызванного совершаемой над газом работой.

Описание установки

Для определения коэффициента Пуассона g используется наполненный воздухом стеклянный сосуд (рис. 2), соединенный с ручным нагнетательным насосом и манометром М. Кран К позволяет отключить насос от баллона и соединить баллон с внешней средой.

Если с помощью насоса накачать в сосуд небольшое количество воздуха, то давление в нем повысится. Одновременно повысится и температура воздуха, но через несколько минут в результате теплообмена с окружающей средой температура воздуха в сосуде сравняется с температурой окружающей среды, т.е. станет равной Т₁, К. Назовем это состояние первым и обозначим его точкой 1 (рис. 3).

Давление в сосуде в первом состоянии (при закрытом кране К и после того, как температура установится) р₁ = Р_атм + h₁, где h₁– разность между давлением в сосуде и атмосферным давлением, измеренная манометром и выраженная в тех же единицах измерения, что и Р_атм. Удельный объем газа будет равен V₁ = V/m, где V – объем сосуда; m – масса газа в нем.

Если быстро открыть кран К, то часть воздуха из сосуда выйдет наружу, в результате чего произойдет адиабатное расширение воздуха, находящегося в сосуде. Кран К нужно закрыть, как только манометр покажет, что давление в сосуде сравнялось с атмосферным. Параметрами второго состояния воздуха в сосуде будут: давление р₂ = Р_атм, Т₂ < Т₁, V₂ > V₁. Точка 2 на рис. 3, характеризующая второе состояние воздуха, будет лежать на одной адиабате с точкой 1.

Через несколько минут после закрытия крана К в результате теплообмена с окружающей средой температура воздуха в сосуде станет равной температуре окружающего воздуха Т₃ = Т_к. Удельный объем газа не изменится: V₃ = V₂, а давление в сосуде повысится до р₃ = Р_атм + h₂.

Избыточное давление h₂ должно быть записано по показанию манометра.

Точка 3 на рис. 3, характеризующая третье состояние воздуха в сосуде, лежит выше точки 2 на одной изохоре (линии постоянного объема) с ней. Точки 3 и 1 лежат на изотерме, которой соответствует температура Т₁. При адиабатном расширении, т.е. при переходе газа из состояния 1 в состояние 2, справедливо уравнение Пуассона.

Из нашего опыта

р₁×T_к ^g^{/ 1 –}^g = p₂×T₂ ^g^/^g^{– 1}. (1)

Для изохорного процесса перехода газа из второго состояния в третье получим

. (2)

Подставив в уравнение (1) выражение из (2), получим

или .

Прологарифмировав это уравнение, найдем

(1– g)(lg р₁ –lg р₂) = g(lg р₂ –lg р₃), откуда .

Заменив величины р₁, р₂, р₃ уже известными выражениями, получим

Поскольку при больших значениях аргумента прирост логарифма пропорционален малому приросту аргумента, это уравнение можно упростить:

(3)

и определить коэффициент Пуассона по непосредственно измеренным в опыте величинам h₁ и h₂.

Измерения и обработка результатов

1. Ручным насосом накачать воздух в баллон так, чтобы стрелка манометра отклонилась на вторую половину шкалы.

2. Выждать несколько минут, пока давление воздуха в баллоне не перестанет уменьшаться (стрелка манометра перестанет отклоняться). Это произойдет при уменьшении температуры воздуха в баллоне до комнатной. Значение установившегося давления h₁записать в журнал наблюдений.

3. Открыть кран К и, сбросив давление в баллоне до нуля, закрыть его.

4. В течение нескольких минут наблюдать за повышением давления в баллоне по показаниям манометра. Значение установившегося давления h₂ записать в журнал наблюдений 15.

5. Опыты по пунктам 1 – 4 повторить не менее пяти раз. Результаты измерений занести в таблицу.

6. Обработать результаты измерений и, определив значение коэффициента Пуассона, сравнить его с теоретическим, рассчитанным по формуле , гдеi- число степеней свободы молекул газа (для воздуха i = 5).

7. Вычислить относительную и абсолютную погрешности измерений.

Журнал наблюдений