Задания для самостоятельного решения. 1.1 Запишите многочлен в стандартном виде:
I уровень
1.1 Запишите многочлен в стандартном виде:
1) ; 2) .
1.2 Найдите значение многочлена при :
1) ;
2)
1.3 Выполните деление многочлена ; результат запишите в виде равенства:
а) ;
б) .
1.4 Найдите (если они существуют) целые корни многочлена:
1) ; 2) .
1.5. Разложите на множители многочлены:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) .
II уровень
2.1. Выполните действия, запишите результат в стандартном виде, определите старшую степень многочлена:
1) ;
2) .
2.2. Не выполняя деления, проверьте делится ли данный многочлен на
1) ; 2) .
Если не делится остаток от деления.
2.3 Найдите частное и остаток от деления:
1) ; 2) .
2.4. Выполните действия и найдите значение выражения при :
.
2.5. Найдите коэффициенты A и B из равенства .
2.6. Разложите на множители:
1) ; 2) ;
3) .
III уровень
3.1. Известно, что многочлен имеет целые корни. Найдите значение , при котором они существуют.
3.2. Сократить дробь: .
3.3. Найдите:
1) наибольшее значение выражения и определите, при каких a и b оно достигается;
2) наименьшее значение многочлена
.
3.4. Найдите сумму всех целых значений n, при каждом из которых значение выражения:
1) является целым числом;
2) является натуральным числом;
3) является натуральным числом.
3.5. Разложите на множители:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
Рациональные дроби
Рациональнойдробью называется выражение вида
, (7)
где ; – многочлены степени n и m соответственно и .
Если для рациональной дроби (7) выполняется , то дробь называется неправильной, если – дробь называется правильной.
Среди рациональных дробей выделяют 4 типа простейших дробей:
I. ;
II. ;
III. ; и у квадратного трехчлена ;
IV. ; , и у квадратного трехчлена .
Алгоритм разложения дроби (7) на простейшие дроби:
1. Если необходимо выделить целую часть делением многочлена на многочлен :
,
где – многочлен-частное (целая часть);
– правильная дробь.
2. Разложить на множители:
, (8)
где .
3. Если разложение знаменателя имеет вид (8), то дробь представить в виде суммы простейших дробей:
, (9)
где – неопределенные коэффициенты, которые необходимо найти.
4. Для нахождения коэффициентов привести правую часть равенства (9) к общему знаменателю, который будет равен знаменателю исходной дроби, т.е. .
5. Приравнять числители дробей.
6. Вычислить значения неопределенных коэффициентов и т.д. Для вычисления данных коэффициентов используют следующие методы:
а) метод неопределенных коэффициентов: многочлены в левой и правой части равенства записать в стандартном виде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителя;
б) метод частных значений: придать произвольные значения переменной (удобнее использовать значения и т.д.) и получить равенства для исходных коэффициентов;
в) комбинирование методов а) и б).
7. Подставить полученные числовые значения коэффициентов в равенство (9), что и будет искомым разложением.
Пример 1. Разложить на простейшие дроби:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) .
Решение.
1. Так как дробь неправильная, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Получим
Для правильной дроби запишем общий вид разложения
Т.к. равны знаменатели, то приравниваем числители
Коэффициенты вычислим методом частных значений. Подставим в последнее выражение.
При , получим
;
;
.
При . Получим
;
;
.
При , получим
;
;
.
Таким образом
2. Запишем общий вид разложения на простейшие дроби соответственно виду множителя знаменателя:
;
Найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов.
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной . Получаем
Пришли к системе уравнений
.
Решаем ее:
Таким образом, получаем
или
.
3. Выделим целую часть дроби , т.к. она неправильная:
;
Знаменатель полученной правильной дроби разложим на множители и запишем общий вид разложения :
Вычислим коэффициенты, используя метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений:
Подставим
;
получим
;
;
.
Запишем многочлен в стандартном виде и используем равенство многочленов:
.
При система имеет вид
.
Из нее находим
.
Поэтому
4. Разлагаем знаменатель дроби на множители:
.
Записываем общий вид разложения
.
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и решаем систему:
Получаем
5. Знаменатель дроби уже разложен на множители. Записываем общий вид разложения на сумму простейших дробей:.
При получаем ; .
Тогда
система имеет вид
Поэтому получаем
.