Метод крутого восхождения

Математическая модель, полученная в результате факторного планирования эксперимента, может успешно применяться только тогда, когда она описывает поверхность отклика, близкую к «стационарной» области (вблизи максимума или минимума). Поиск оптимума путем проведения однофакторных экспериментов (поочередно изменяется только одно переменное, а все остальные фиксируются на определенном уровне) имеет тот недостаток, что в общем случае может не привести к оптимальному результату. Полученные локальные оптимумы по каждому фактору не учитывают эффекты взаимодействия факторов в реальном процессе. Кроме того, при определенной форме поверхности отклика поочередное изменение факторов может привести к ошибке в определении экстремума.

Am

Ah

x23

x22

x21

x2m

x2h

x12

x13

x11

x1m

x1h

y1

y2

y3

y4

y5

0

X2

X1

Рис.21. Схема локального (A_h) и глобального (A^m) экстремума

Как видно из рис.21, изменение факторов x₁ и x₂ в любую сторону от точки A_h вызывает уменьшение (или увеличение) у. Создается впечатление, что точка A_h соответствует экстремуму. Действительный же экстремум находится в точке A^m, при бóльших значениях x₁ и x₂.

Для поиска оптимума функцию отклика достаточно описать линейным уравнением регрессии, которое не отражает подробно поверхность, но позволяет определить направление движения. Естественно, что линейная модель должна отвечать условию адекватности.

Градиент непрерывной однозначной функции есть вектор, который определяется выражением

,

где – частные производные функции у по i-му фактору (i = 1,2,...,k),

– единичные векторы в направлении координатных осей факторного пространства.

Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально соответствующим коэффициентам уравнения регрессии в ту сторону, в которую указывает знак коэффициента. В этом случае движение в направление градиента функции отклика будет приходить по кратчайшему («крутому») пути.

Крутое восхождение в двухфакторном эксперименте:

а) – эквипотенциальные сечения;

б) – сечение по .

Пример. Оптимизировать геометрические параметры проходных резцов с пластинками твердого сплава ВК6 для операции точения стали 18ХНВА твердостью НВ 3200...3300 МПа. Режимы резания: V=100м/мин, S=0,1мм/об, t=2мм, обработка без СОЖ. φ – главный угол в плане, α – задний угол, γ – передний угол, φ₁ – вспомогательный угол, r –– радиус вершины резца.

Критерий оптимизации – максимальная стойкость.

Исходя из априорной информации, выбраны также основные уровни факторов и интервалы варьирования. Они приведены в таблице матрицы планирования. Эксперименты проводились без дублирования, их результаты представлены в таблице.

№ опыта	Факторы						r, мм	Т, мин
Основной уровень Интервал варьирования Верхний уровень Нижний уровень				-5 -3 -7		0,5 0,2 0,7 0,3
Код факторов
		+	–	–	–	–	+
		+	+	–	–	+	–
		+	–	+	–	+	+
		+	+	+	–	–	–
		+	–	–	+	+	–
		+	+	–	+	–	+
		+	–	+	+	–	–
		+	+	+	+	+	+

Математическую модель строим в следующем виде

.

Значение коэффициентов линейной матмодели рассчитываем по формуле

,

,

,

,

,

,

.

Тогда .

Для оценки статистической значимости коэффициентов матмодели определим дисперсию и ошибку параметра оптимизации по результатам четырех дополнительных экспериментов в центре плана.

y_u1 = 19,8 мин; y_u2 = 20,4 мин; y_u3 = 19,3 мин; y_u4 = 20,1 мин.

Тогда ,

;

Доверительный интервал коэффициентов матмодели при 5% уровне значимости и числе степеней свободы f = 3 будет

.

Таким образом, все коэффициенты существенно больше доверительного интервала, т. е. статистически значимы. Матмодель можно использовать для движения к оптимуму методом крутого восхождения из центра плана (основного уровня). Для этого необходимо определить величину шага по каждому переменному фактору. За основной принимаем шаг по переменной (координате) х₂, т.к. для нее произведение максимально.

Шаг по остальным факторам определяется из соотношения

,

где – интервал варьирования x_i фактора,

– интервал варьирования фактора х₂,

– шаг основной (по фактору х₂), он не может быть больше интервала варьирования. Принимаем .

Тогда

; ;

; .

Округлим расчетные значения шагов, окончательно принимаем следующие их величины

; ; ; ; .

Условия и результаты опытов на лини крутого восхождения приведены в таблице 15.

Таблица 15

№ опыта	Факторы	Т, мин / уj
				r, мм / x5
Основной уровень			-5		0,5
Шаг				-1	0,1
N9			-4		0,6
N10			-3		0,7	. 41
N11			-2		0,8
N12			-1		0,9
N13					1,0

Таким образом, оптимальными геометрическими параметрами режущей части проходных резцов являются: ; ; ; ; r = 0,8мм.

Симплексный метод

Рассмотренный выше метод оптимизации включает в себя пробные движения для установления направления и скорости движения, а также рабочие движения к экстремуму.

Симплексный метод поиска оптимума совершает эти два движения за счет того, что эксперименты ставятся только в точках факторного пространства, соответствующих вершинам симплекса.

Симплекс (от латинского simplex – простой) – простейший выпуклый многогранник данного числа измерения (K). При K = 0 – симплекс называют нульмерным, при K = 1 – симплекс одномерный, при K = 2 – симплекс двухмерный, при K = 3 – симплекс трехмерный и т.д.

Число вершин симплекса на 1 превосходит размерность факторного пространства. В зависимости от числа факторов (K) в качестве симплексов используют следующие фигуры:

1) при K = 1 – отрезок прямой,

2) при K = 2 – равносторонний треугольник,

3) при K = 3 – правильный 4-х гранник (тетраэдр),

4) при K > 3 – правильный гипертетраэдр в K-мерном пространстве.

В основе использования симплекса для поиска оптимума лежит следующее его важное свойство: из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин и используя оставшуюся грань, получить новый симплекс, добавив только одну точку. Суть симплексного метода состоит в том, что по результатам предыдущих опытов выбирается такое направление последующих опытов, которые улучшают значение отклика. При этом точки плана эксперимента выбираются в вершинах симплекса. Путем последовательного отбрасывания вершин осуществляется перемещение симплекса в факторном пространстве после каждого эксперимента.

Если выполнить эксперименты в вершинах симплекса, то направление максимально крутого подъема поверхности отклика будет проходить из центра симплекса через грань, противоположную вершине с минимальным значением . Поэтому для продвижения к экстремуму нужно перейти от исходного симплекса к симплексу, находящемуся в области более высокого значения отклика, путем отбрасывания вершины с минимальным значением выхода и построения регулярного симплекса с новой вершиной, являющейся зеркальным отображением отброшенной (в силу симметрии). Затем процесс отбрасывания вершины с минимальным откликом и построения нового симплекса повторяется. Таким образом, формируется цепочка симплексов, перемещающихся в факторном пространстве к экстремуму.

Симплексный метод для двухфакторного эксперимента.

На рисунке показано движение симплекса к оптимуму для двухфакторной задачи. Алгоритм симплексного планирования состоит в следующем

Задание: Оптимизировать режимы резания (скорость резания и подачу) при сверлении отверстий диаметром 0,7мм на глубину 2,8мм в стали 18ХНВА сверлом из стали Р18 с охлаждением.

Двухмерный симплекс представим в виде равностороннего треугольника с вершинами 1,2,3, расстояние между которыми (сторону треугольника) примем за 1 (безразмерную единицу варьирования). Тогда высота симплекса будет равна .

Исходя из априорной информации, установим базовые (нулевые) значения частоты вращения (а значит и скорости резания) и подачи, а также интервалы варьирования. За базовые примем минимальные значения частоты вращения и подачи с учетом производительности и условий стружкообразования.

Факторы (параметры)	Код	Основной уровень	Интервал варьирования
n, об/мин	X1
S, мм/об	X2	0,003	0,001

Координаты вершины нового симплекса в кодовых значениях находятся по формуле

,

где – координаты новой вершины, которая является зеркальным отображением отбрасываемой вершины;

– координаты отбрасываемой вершины;

– среднее значение координат всех точек симплекса, кроме отбрасываемой.

Последовательность движения симплекса и результаты экспериментов приведены в таблице, а схема движения симплекса на рисунке.

Рис.26. Схема движения симплекса.

№ опыта	Симплекс	Точка опыта (вершина)	Частота вращения	Подача x2	Количество просверленных отверстий
код	n, об/мин	код	S, мм/об
	1-2-3					0,003
	1-2-3		0,5		0,866	0,004
	1-2-3		1,0			0,003
	2-3-4		1,5		0,866	0,004
	2-4-5		1,0		1,732	0,005
	4-5-6		2,0		1,732	0,005
	5-6-7		1,5		2,598	0,006
	4-6-8		2,5		0,866	0,004
	6-8-9		3,0		1,732	0,005
	6-9-10		2,5		2,598	0,006

Эксперименты в вершинах исходного симплекса показали, что наихудшие результаты получены в точке 1. Отбрасывая вершину 1 и поворачивая треугольный симплекс вокруг стороны 2-3, получаем вершину 4.

Ее координаты в кодовых единицах будут

;

Значение факторов в натуральных и кодовых единицах связаны зависимостью

;

где – кодовое (в единицах симплекса) значение фактора;

– натуральное значение фактора;

– интервал варьирования фактора .

Для точки 4 натуральные значения факторов будут

мм/об;

об/мин.

Сверление на этих режимах позволило обработать 123 отверстия. В симплексе 2-3-4 наихудшие результаты получены в вершине 3, которую отбрасываем, поворачиваем треугольник вокруг стороны 2-4 и получаем вершину 5 с координатами (1;1,732) в кодовых единицах. В натуральных единицах они будут равны n₅ = 4050 об/мин; s₅ = 0,005 мм/об.

На указанных режимах получено 137 отверстий. Условия опыта 6 получены путем отбрасывания вершины 2 и «опрокидывания» треугольника вокруг стороны 4-5 (n₆ = 6050 об/мин; s = 0,005 мм/об). Результат – 268 просверленных отверстий. Дальнейшее движение симплекса по факторному пространству видно из рисунка. При сверлении на режимах точки 7 получено только 42 отверстия. Поэтому условия опыта 8 целесообразно получить не отбрасыванием вершины в симплексе 5-6-7, а путем поворота симплекса 4-5-6 вокруг стороны 4-6. Результат опыта в точке 8 – 123 отверстия, в точке 9 – 233 отверстия и в точке 10 – 38 отверстий. Таким образом, симплекс начал вращаться вокруг точки 6 («зациклился»). Это значит, что в некоторой области в зоне точки 6 находится оптимум (максимум) выходного параметра (количество просверленных отверстий). Соответствующие этой точке режимы (n₆ = 6050 об/мин; s₆ = 0,005 мм/об) являются оптимальными.

Выводы

На основании полученных данных построен график симплекса, которые наглядно демонстрирует область оптимальных значений функции по выбранному критерию.