Системи диференціальних рівнянь.

Лінійні ДР завжди можна звести до системи ДР першого порядку виду:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Задача Коші полягає у знаходженні розв’язку системи рівнянь, що задовольняє умови

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru .

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru Розглянемо ДР другого порядку

у² + 4у¢ + 3у = 0.

●Вводимо дві нові змінні у1 = у, у2 = у¢. Тоді ДР можна записати у вигляді системи рівнянь

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

або у вигляді системи (35):

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Ця система рівнянь має фундаментальну матрицю розв’язків

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

яка задовольняє матричне ДР

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Знаючи фундаментальну матрицю розв’язків N(x), можна знайти фундаментальну матрицю розв’язків, нормовану в точці х0:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Розв’язок задачі Коші має вигляд

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru .

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru Зауваження. Розв’язок системи лінійних ДР можна записати у вигляді

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

і матрицю еАх знайти як функцію від матриці.

Розв’язок системи рівнянь (34) можна шукати у вигляді

уk = epxbk (k = 1, 2, …, n).

Для пошуку сталих bk (k = 1, 2, …, n) отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має ненульовий розв’язок, якщо визначник системи рівнянь дорівнює нулю:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru .

Це рівняння називається характеристичним. Корені характеристичного рівняння є власними числами матриці А

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Якщо рівняння має різні корені р1, р2, …, рn, то система рівнянь має n різних розв’язків

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

і загальний розв’язок

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Вектори

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

є власними векторами матриці А, що відповідає власним числам р1, р2, …, рn.

Випадок, коли рівняння має кратні корені, нами не розглядається через його складність.

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru Знайдемо розв’язок системи ДР

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

●Шукаємо розв’язок у вигляді

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

і для сталих b1, b2 дістаємо систему рівнянь:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Характеристичне рівняння

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

має корені р1 = – 3, р2 = –1. Відповідні власні вектори матриці коефіцієнтів мають вигляд:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru .

Остаточно знаходимо загальний розв’язок системи ДР

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

який можна записати також у вигляді

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru .

2. Метод підстановки розв’язування систем ДР.

Для інтегрування системи можна застосувати метод, за допомогою якого ця система була зведена до рівняння. Цей метод називають методом виключення змінної.

Приклади

1. Розв'язати систему рівнянь

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

О Продиференціюємо перше рівняння:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Підставимо в це рівняння значення похідної у' із другого рівняння системи:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Знайшовши з першого рівняння значення у = x' + 7x і підставивши його в знайдене рівняння, дістанемо Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Маємо лінійне однорідн Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru е рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Інтегруючи його, одержуємо

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Оскільки Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Отже, загальний розв'язок даної системи має вигляд

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Список використаних джерел

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К. : А.С.К., 2005. – 648 с. : іл., ст. 487-493

Контрольні питання

1. Який вигляд має система диференціальних рівнянь?

2. У чому полягає метод підстановки розв’язування систем ДР?

3. Розв'язати систему рівнянь: Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Самостійна робота № 22

Тема. Найпростіші властивості числових рядів.

Мета: знати властивості числових рядів, вміти застосовувати їх до дослідження рядів на збіжність.

Кількість годин: 2

План

1. Властивість про множення ряду на одне і те саме число.

2. Властивість про почленне додавання та віднімання рядів.

3. Властивість про збіжність (розбіжність) ряду в залежності від збіжності (розбіжності) його залишку.

4. Необхідна умова збіжності ряду.

5. Достатня умова розбіжності ряду.

1. Властивість про множення ряду на одне і те саме число.

Якщо ряд Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru збіжний і має суму S, то ряд Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru також збіжний і сума його дорівнює СS (C=const). Іншими словами, збіжний ряд можна множити почленно на одне і те саме число.

О Нехай Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

— частинні суми даних рядів. За умовою Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru тому Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru Отже, ряд Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru збіжний і сума його дорівнює СS. •

2. Властивість про почленне додавання та віднімання рядів.

Збіжні ряди можна почленно додавати та віднімати, тобто якщо ряди Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru збіжні і мають суми відповідно S та Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru , то збіжними є також ряди і суми їх дорівнюють Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

О Нехай

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

— частинні суми відповідних рядів. Оскільки Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru і за умовою Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru , то

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru . •

3. Властивість про збіжність (розбіжність) ряду в залежності від збіжності (розбіжності) його залишку.

На збіжність ряду не впливав відкидання або приєднання до нього скінченної кількості членів.

О Нехай Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru — частинна сума ряду (1), Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru — сума m відкинутих членів (число членів n взяте таким великим, що всі відкинуті члени містяться в Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru , Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru — сума членів ряду, які містяться в Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru і не містяться в Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru Згідно із знайденою рівністю, границі в лівій і правій частинах одночасно існують або не існують, тобто ряд (1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжний (розбіжний) ряд без m його членів. • Розглянемо ряд (1) і покладемо

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Величину rn називають п-м залишком ряду (1), її можна розглядати як суму ряду, який утворюється з ряду (1) після відкидання перших n його членів.

Якщо ряд збіжний і Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Справедливе і більш загальне твердження.

Ряд (1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжний (розбіжний) довільний його залишок.

4. Необхідна умова збіжності ряду.

Якщо ряд Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru збіжний, то Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

О Нехай S —сума заданого ряду, тоді Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru S, де Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru . Проте Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru тому Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Умова Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru є тільки необхідною для збіжності ряду, але не достатньою. Це означає, що існують розбіжні ряди, для яких ця умова виконується.

5. Достатня умова розбіжності ряду.

Якщо Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru то ряд Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru , розбіжний.

Дійсно, якби даний ряд був збіжний, то за властивістю 5° його загальний член прямував би до нуля при Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru , що суперечить умові. Приклади

Дослідити на збіжність ряди:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

О а) Тут виконується необхідна умова збіжності:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

проте ряд розбіжний. Дійсно,

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

тобто Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru звідки Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru Отже, ряд а) розбіжний.

б) Тут виконується достатня умова розбіжності:

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

тому ряд б) розбіжний.

в) Ряд збіжний як геометрична прогресія із знаменником Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Таким чином, якщо Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru то ніякого висновку про збіжність чи розбіжність ряду Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru зробити не можна.

Потрібне додаткове дослідження, яке виконується за допомогою достатніх умов збіжності ряду. Якщо ж Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru то ряд розбіжний.

Список використаних джерел

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К. : А.С.К., 2005. – 648 с. : іл. , ст. 496-498

Контрольні питання


1. Які найпростіші властивості числових рядів?

2. Сформулювати необхідну ознаку збіжності ряду.

3. Сформулювати достатню ознаку розбіжності ряду.

4. Дослідити на збіжність ряди з додатними членами:

а) Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru ; б) Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru .

Самостійна робота № 23

Тема. Застосування степеневих рядів.

Мета: знати методи застосування степеневих рядів до наближених обчислень, наближених обчислень визначених інтегралів та наближених розв’язків диференціальних рівнянь, вміти їх застосовувати.

Кількість годин: 2

План

1. Наближене обчислення визначених інтегралів.

2. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь.

1. Наближене обчислення визначених інтегралів.

Обчислимо «неінтегровний» інтеграл

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Знайдемо значення визначеного інтеграла

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

2. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь.

Знайдемо розв’язок рівняння

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

відносно неявної функції у = y(x).

●Шукаємо розклад у вигляді ряду

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru .

Підставляючи ряд у рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х нулю, приходимо до системи рівнянь

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

з якої знаходимо послідовно коефіцієнти

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

і розклад неявної функції у степеневий ряд

Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Список використаних джерел

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К. : А.С.К., 2005. – 648 с. : іл. , ст. 527-531

Контрольні питання

1. У чому полягає метод інтегрування функцій за допомогою рядів?

2. У чому полягає метод інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів?

3. Розвинути підінтегральну функцію в ряд і обчислити з точністю до Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru визначений інтеграл Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru .

4. Знайти три перших (відмінних від нуля) члени ряду, які є розв’язками диференціального рівняння: Системи диференціальних рівнянь. - student2.ru

Наши рекомендации