Неопределимой рамы методом сил.

Заданная расчетная схема Исходные данные

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru L1 = 6.0 м

L2 = 4.0 м

H = 8.0 м

Р = 2 т

q = 1 т/м

I1 : I2 =2:3

E = const

1. Определение степени статической неопределимости заданной рамы.

Рама является внешне статически неопределимой системой , следовательно, степень статической неопределимости находится по формуле:

n = Соп –3 = 5 – 3 = 2

т.е. система дважды статически неопределима.

2. Выбор основной и эквивалентной систем метода сил. Назначение

лишних неизвестных Х1 и Х2

       
    неопределимой рамы методом сил. - student2.ru
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru
 

3. Система канонических уравнений будет иметь следующий вид:

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

δ11Χ1 + δ12Χ2 + Δ= 0,

δ21Χ1 + δ22Χ2 + Δ= 0.

4. Построение единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов.

Для построения единичных и грузовой эпюр необходимо для каждого состояния найти опорные реакции.

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

 
Σ МD = 0, -VE ·L2 = 0, VE = 0

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru Σ X = 0, X1 – HD = 0, HD = 1

Σ Y = 0, VE + VD = 0, VD = 0

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

Σ МD = 0, X2 ·L1 -VE ·L2 = 0,

VE = 1,5

Σ X = 0, HD = 0,

Σ Y = 0, VE + X1 - VD = 0,

VD = 2,5

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

Σ МD = 0,

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru q ·H2/2 -VE ·L2 + P ·H/2 = 0,

Σ X = 0, q ·H + P – HD = 0,

HD = 10 (т)

Σ Y = 0, VE - VD = 0,

VD=10 (т)

5. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений.

δ11 = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·8·8·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·8·2 +неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·8·6·8 =

= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

δ12 = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru= -неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·6·6·8 = - неопределимой рамы методом сил. - student2.ru δ21 = δ12 = - неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

δ22 =неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·6·6· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·6 +неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·6·4· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·6 =

= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

Δ =неопределимой рамы методом сил. - student2.ru= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru· 8 ·32 ·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru· 8 +неопределимой рамы методом сил. - student2.ru· 8 · 6 ·32 +

+неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru· 4 · 4 · неопределимой рамы методом сил. - student2.ru · 40 + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru · (72·8 + 4·56·6 +4·40) =

= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

Δ= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru= -неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·6·6·32 + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·6·4· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·40 =

= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = - неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

6. Построение суммарной единичной эпюры изгибающих моментов.

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru неопределимой рамы методом сил. - student2.ru неопределимой рамы методом сил. - student2.ru МS = М1 + М2

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

δSS = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·8·8· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·8·2 +неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·6·4· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·6 +

+ неопределимой рамы методом сил. - student2.ru· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·(8·8 + 4·5·5 + 2·2) = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

S δi j = δ11 + δ12 + δ21 + δ22 = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru - неопределимой рамы методом сил. - student2.ru - неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

δSS = S δi j , т.е. выполнена универсальная проверка единичных коэффициентов, следовательно, единичные коэффициенты найдены верно.

7. Проводим проверку свободных членов канонических уравнений

( постолбцовая проверка).

Δ = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru=неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·8·32·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·8 + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·5·6·32 +

+ неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·6 ·4· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·40 + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·(40·4 + 6·4·56 +72·8) + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·4·4· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·40

= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

S Δ = Δ + Δ = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru - неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

S Δ = Δ т.е. выполнена постолбцовая проверка , следовательно, свободные члены найдены верно.

8. Решаем систему канонических уравнений:

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

896/(3·EI) ·Χ1 - 144/(3·EI) ·Χ2 + 4704/(3·EI) = 0,

-144/(3·EI) ·Χ1 + 120/(3·EI) ·Χ2 - 256/(3·EI) = 0.

Сократив оба уравнения на величину 8/(3·EI), получим следующую систему уравнений:

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

112 ·Χ1 - 18 ·Χ2 + 588 = 0,

-18 ·Χ1 + 15 ·Χ2 - 32 = 0.

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru 112 -18

D0 = = 112·15 - 18·18 = 1356

-18 15

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru -588 -18

D1 = = -588·15 + 18·32 = - 8244

32 15

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru 112 -588

D2 = = 112·32 - 18·588 = - 7000

-18 32

Х1 = D1 / D0 = -8244 / 1356 = - 6,080 (т)

Х2 = D2 / D0 = -7000 / 1356 = -5,162 (т)

Делаем проверку найденного решения, т.е. подставляем полученные значения Х1 и Х2 в канонические уравнения:

112·(-6,080) – 18·(-5,162) + 588 = -588,004 + 588 = 0,004 » 0

- 18·(-6,080) +15 ·(-5,162) - 32 = 32,01 - 32 = 0,01 » 0

т.о. решение найдено верно.

9. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов

       
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru
    неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

Мок = М1·Х1 + М2·Х2 + МР

           
    неопределимой рамы методом сил. - student2.ru
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru
 
 
    неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

Проведем суммирование полученных эпюр по характерным точкам

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

10. Проверяем правильность построения эпюры Мок

а) Статическая проверка:

       
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru
    неопределимой рамы методом сил. - student2.ru
 

S МВ = 0, 16,64 - 16,64 = 0

S МС = 0, -23,36 + 14,322 + 9,028 = 0

б) Деформационная проверка:

Δ1ок =неопределимой рамы методом сил. - student2.ru = -неопределимой рамы методом сил. - student2.ru· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·(0·0 + 4·4·16,32 + 16,64·8)-

-неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·8·6·1,154 + неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·4/6·(15,68·4 + 4·6·19,52 +23,36·8)+

+неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·15,68·4· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·4 =неопределимой рамы методом сил. - student2.ru(-262,827-18,464 +239,36 +41,913)=

= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru(-281,291 + 281,273) = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru» 0

ОП: -0,018·100% /-281,291 = 0,006 % допустимая погрешность.

Δ2ок = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru= неопределимой рамы методом сил. - student2.ru· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·(0·16,64 + 4·3·1,154-14,332·6) +

+неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·неопределимой рамы методом сил. - student2.ru·9,028·4· неопределимой рамы методом сил. - student2.ru ·6 = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru (-24,048 +24,075) = неопределимой рамы методом сил. - student2.ru» 0

ОП: 0,027·100% / 24,075 = 0,11 % допустимая погрешность.

Деформационная проверка выполнена, следовательно, эпюра Мок

построена верно.

11. Построение эпюры поперечных сил на основании построенной эпюры изгибающих моментов Мок

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

S МА = 0,

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru -16,64 + q·8·4 - НВ·8 = 0,

НВ = 1,92 (т)

S МВ = 0,

А
-16,64 - q·8·4 + НА·8 = 0,

НА = 6,08 (т)

S Х = 0, -НА – НВ + q·8 = 0, 0 = 0

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru S МВ = 0,

-VС·6 +14,332 +16,64 =0,

VС = 5,162 (т)

S МС = 0,

-VВ·6 +14,332 +16,64 =0,

VВ = 5,162 (т)

S Y = 0, VВ + VС = 0, 0 = 0

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

S МС = 0, 9,028 - VЕ·4 = 0

VЕ = 2,257 (т)

S МЕ = 0, 9,028 – VС·4 = 0

VС = 2,257 (т)

S Y = 0, -VС + VЕ = 0, 0 = 0

неопределимой рамы методом сил. - student2.ru S МС = 0,

-23,36 + НD·8 - Р·4 = 0

НD = 3,92 (т)

S МD = 0,

-23,36 - НС·8 + Р·4 = 0

НС = -1,92 (т) – значит направление реакции выбрано неверно, поэтому меняем его на противоположное.

S Х = 0, -НD + НС +Р = 0, 0 = 0

Эпюра поперечных сил будет иметь следующий вид:

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

12. Построение эпюры продольных (нормальных) сил N , на основании построенной эпюры поперечных сил:

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

S Х = 0, NВС + 1,92 = 0

NВС = -1,92 (т)

Получается, что усилие NВС направлено в противоположную

сторону, т.е. в узел.

S Y = 0, -NАВ + 5,162 = 0

NВС = -1,92 (т)

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

S Y = 0,

NСD - 5,162 + 2,257 = 0

NСD = -2,905 (т) направлено в противоположную сторону.

S Y = 0,

NСЕ - 1,92 + 1,92 = 0

NСЕ = 0

Эпюра продольных сил N будет иметь следующий вид:

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

13. Согласно построенным эпюрам M, N, Q определяем опорные реакции рамы и составляем условие статического равновесия рамы в целом.

 
  неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

S М F = 0, -VА·3 + HА·8 - q ·8·4 - Р ·4 - VD·3 +HD·8 -VE·7 = 0,

-5,162·3 + 6,08·8 -1·8·4 - 2·4 - 2,905·3 +3,92·8 - 2,257·7 = 0,

0 = 0, следовательно, рама рассчитана верно, эпюры M, N, Q построены правильно.

Вопросы для самоконтроля.

1. Дать определение статически неопределимой рамы .

2. Дать определение внутренне и внешне статически неопределимых

рам.

3. Написать и пояснить формулы для определения степени

статической неопределимости внутренне и внешне статически

неопределимых рам.

4. Дать определение основной и эквивалентной систем.

5. Записать канонические уравнения метода сил для дважды

статически неопределимой системы. Объяснить физический смысл

каждого уравнения и каждого элемента входящего в уравнения.

6. Порядок определения единичных и грузовых коэффициентов

канонических уравнений.

7. Записать и пояснить проверки для единичных и грузовых

коэффициентов канонических уравнений.

8. Правила построения окончательной эпюры изгибающих моментов.

9. Деформационная проверка, ее физический смысл.

10. Порядок построения эпюры поперечных сил.

11. Порядок построения эпюры продольных усилий.

12. Взаимная проверка эпюр M, N, Q.

Общие указания

1. Расчетно-графическая работа должна быть выполнена на стандартных листах бумаги, формата А4 (210х297 мм).

2. Все записи и расчеты производятся чернилами на одной стороне листа, рисунки выполняются карандашом.

3. Расчеты должны содержать решения в общем (буквенном) виде и числовое решение.

4. Все вычисления производятся с точностью до 0,001.

5. Полностью выполненное и оформленное РГР сшивается и сдается преподавателя в указанные сроки.

Приложение 1

  Фигура   Площадь Ω Абсциссы центра тяжести
Z1 Z2
    hl l/2 l/2
    hl/2 l/3 2l/3
    hl/3 l/4 3l/4
неопределимой рамы методом сил. - student2.ru неопределимой рамы методом сил. - student2.ru неопределимой рамы методом сил. - student2.ru неопределимой рамы методом сил. - student2.ru
Парабола n - степени
неопределимой рамы методом сил. - student2.ru неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

hl (n+1) l (n+2) (n+1)l (n+2)
неопределимой рамы методом сил. - student2.ru
Квадратная парабола
неопределимой рамы методом сил. - student2.ru неопределимой рамы методом сил. - student2.ru

2hl/3 3l/8 5l/8

Наши рекомендации