Ряд геометрической прогрессии.

Так называется ряд (бесконечная сумма), члены которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом а0 и знаменателем прогрессии, равным q.

Если |q| < 1, то существует предел суммы n первых членов этой прогрессии при неограниченном увеличении количества этих членов n:
Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

В этом случае говорят о бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Остаток числового ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов называется n-м остатком ряда. Обозначение:

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

Для остатка ряда справедливы следующие утверждения:

1. Если ряд сходится, то сходится любой его остаток.

2. Если хотя бы один остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится.

3. Если ряд сходится, то

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

Существуют способы оценки остатка ряда с помощью интегрального признака Коши (для знакоположительного ряда) и Признака сходимости Лейбница (для знакочередующегося ряда).

Гармонический ряд.

Гармонический ряд –числовой ряд
Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru .
Члены этого ряда обратны соответствующим натуральным числам.

Как установил в 1673 г. Г. Лейбниц, этот ряд расходится, т.е. частичные суммы ряда, Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru , неограниченно растут при неограниченном росте количества n членов сумм. Гармонический ряд обычно приводят как пример того, что стремление к нулю n-го члена ряда при неограниченном росте его номера еще не обеспечивает его сходимость, это лишь необходимый, а не достаточный признак сходимости.

Свое название гармонический ряд, возможно, получил из-за такого очевидного свойства: каждый его член, начиная со второго, есть среднее гармоническое двух своих соседей – предыдущего и последующего членов.

Среднее гармоническое n положительных чисел, a1, a2, …, an равно Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru (здесь n ≥ 2).

Основные свойства сходящихся рядов. Критерий сходимости рядов с положительными членами.

(29. 2.) Запишем три свойства, определяющие сходимости числовых рядов, первое из которых связано с отбрасыванием конечного числа членов.

1?. Сходимость ч.р. не зависит от отбрасывания конечного числа членов.

Разберем Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru и Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru . Предположим, что Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru , в этом случае

(29.1)

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

При наличии конечного предела справа в (29.1) можно заключить, что существует и предел слева, и ряд Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru предполагает сходимость.

2?. При условии, что ряд Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru сходится и его сумма составляет Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru можно заключить, что ряд Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru , сходится и имеет сумму Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru .

Допустим, что Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru , таким образом

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

3. При условии, что Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru сходятся и имеют суммы Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru , соответствено, можно заключить, что Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru сходится и имеет сумму Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

Предположим, что Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru в этом случае

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

Признаки сравнения рядов.

Теорема(признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

причём члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго, т.е.

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru (18)

Тогда из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а из расходимости первого ряда – расходимость второго.

Замечание. Условие (18) не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами. Достаточно, чтобы оно выполнялось начиная с некоторого номера kили чтобы имели место неравенства

Ряд геометрической прогрессии. - student2.ru

где m – некоторое целое число.

Наши рекомендации