Краткие теоретические сведения. Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид: (*)

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид:

(*)

где - производные первого, второго, ... , n -го порядков от искомой функции y. Его решением является семейство функций

y = y(x,a₁,a₂,...,a_n),

где a₁,a₂,...,a_n - произвольные константы.

Например, простейшее дифференциальное уравнение имеет решение y=aex. Каждому какому угодно значению параметра a соответствует своя функция, и все эти функции удовлетворяют исходному уравнению.

Если в дополнение к уравнению (*) задать конкретные значения

для некоторого значения x₀ в виде

; ; ;...; ,

(**)

то тем самым определяется конкретный набор a₁, a₂, ... , a_n и, следовательно, единственная конкретная функция y(x,a₁, a₂, ... , a_n) из всего семейства решений.

Условия (**) называются начальными условиями, а вся задача, включающая дифференциальное уравнение (*) и начальные условия (**), называется "задачей Коши".

В задании 5 рассматривается решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка задачи звучит так: требуется решить дифференциальное уравнение при начальных условиях .

К сожалению, класс дифференциальных уравнений, позволяющих аналитическими методами получить решение, довольно узок. Например, уравнение y'=x²+y² не имеет аналитического решения.

При численном решении задачи Коши необходимо задаваться границами xнач, xкон изменения аргумента x и величиной h, являющейся шагом его изменения, который определяет дискретность вычисления значений функции y=y(x). Решение, полученное численным методом, есть таблица соответствующих значений (xi,yi), i = 0,1,2,...,n, где x0=xнач, xn= xкон; xi+1 = xi + h		x	y
x0	y0
x1	y1
x2	y2
x3	y3
x4	y4

5.1.1. Метод Эйлера

Это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Однако на основе этого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов.

Считаем, что уже известно значение y_m искомой функции y(x) в точке x_m (m=1,2,3,…). Каждое следующее значение y_m+1 в точке x_m+1=x_m+h определяется по формуле

Вывод вычислительной формулы метода Эйлера и его геометрическая интерпретация даны в [ 1 ].

Метод Эйлера является методом первого порядка точности.

5.1.2. Метод Рунге-Кутта IV порядка.

Наиболее распространенным численным методом решения задачи Коши является метод Рунге-Кутта IV порядка, обеспечивающий достаточно высокую точность, которая с лихвой оправдывает дополнительное, по сравнению методом Эйлера и его модификациями, увеличение объема вычислительной работы. Расчеты при использовании этого классического метода производятся по формуле

,

5.1.3.

где	K0 = h f(xm, ym),
	K1 = h f(xm+0.5h, ym+0.5K0),
	K2 = h f(xm+0.5h, ym+0.5K1),
	K3 = h f(xm+h, ym+K2).

Задание

Изучить теоретический материал: численные методы решения дифференциальных уравнений.

Дано дифференциальное уравнение . Необходимо найти его решение методами Эйлера и Рунге-Кутта IV порядка при заданных начальных условиях y(x₀)=y₀ на заданном промежутке интегрирования [x_нач,х_кон] с шагом, вычисленным по формуле: h=(х_кон-x_нач)/20. Исходное уравнение, начальные условия и промежуток интегрирования выбираются из таблицы индивидуальных вариантов.

Для обеспечения возможности оценки точности методов в таблице для каждого дифференциального уравнения приведено также его точное, аналитическое решение y=y(x,C), где C – произвольная константа. Требуется определить значение C, при котором это решение удовлетворяет начальным условиям y(x₀)=y₀, и сформировать таблицу значений функции y(x,C) на промежутке [x_нач,х_кон] с шагом h.

В качестве результата требуется сформировать таблицу, содержащую следующие графы:

1) значения аргумента х;

2) решение, полученное методом Эйлера;

3) решение, полученное методом Рунге-Кутта 4-го порядка;

4) аналитическое решение y(x,C) уравнения;

5) ошибка метода Эйлера по сравнению с точным решением;

6) ошибка метода Рунге-Кутта по сравнению с точным решением.

Построить диаграмму с графиками решений по Эйлеру и по Рунге-Кутту.

Для защиты контрольной работы представить на компьютере EXCEL-файл решения задачи и рукописный отчет. В отчете по задаче 5 представить ответы на контрольные вопросы.

Пример решения задачи

Порядок выполнения работы поясним на примере решения дифференциального уравнения при начальных условиях y(0)=1 на промежутке [0; 0,7]. Общее решение данного уравнения имеет аналитический вид: y=tg(x+C)-x.

Введем заголовки таблицы и исходные данные:

A1’РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Скопируем из таблицы вариантов запись дифференциального уравнения и поместим ее как графический объект следом за введенным текстом.

А2’Общее решение

Скопируем из таблицы вариантов запись общего решения уравнения и поместим ее как графический объект следом за введенным текстом.

A3’Начальные условия: D3’Xo= E30 F3’Yo= G31

A4’Промежуток интегрирования: D4’Хн= E40 F4’Хк= G40,7

A5’Шаг интегрирования: D5’H= E5=(G4-E4)/20

A6’x B6’Эйлер С6’К0 D6’K1 E6’K2 F6’K3 G6’Р-К

H6’Точное I6’Ошибка Эйлера J6’Ошибка Р-К

Заполняем столбец значений аргумента х:

A7=E3 A8=A7+$E$5 Копируем А8 в А9:А27

Заполняем столбец решения по методу Эйлера:

B7=G3 B8=B7+$E$5*(A7+B7)^2 . Копируем B8 в B9:B27.

Заполняем столбцы решения по методу Рунге-Кутта:

G7=G3 C8=$E$5*(A7+G7)^2 D8=$E$5*(A7+0,5*$E$5+G7+0,5*C8)^2 E8=$E$5*(A7+0,5*$E$5+G7+0,5*D8)^2 F8=$E$5*(A7+$E$5+G7+E8)^2 G8=G7+(C8+2*D8+2*E8+F8)/6 Копируем C8:G8 в C9:G27.

Для построения столбца точного решения вычислим константу C, подставив в общее решение заданные начальные условия:

.

Занесем в таблицу вычисленную константу: F2’С= G2=ПИ()/4

Заполняем столбец точного решения:

H7=TAN(A7+$G$2)-A7 Копируем H7 в H8:H27.

Заполняем столбцы ошибок Эйлера и Рунге-Кутта:

I7=ABS(H7-B7) J7=ABS(H7-G7) . Копируем I7,J7 в I8:J27.

Построим совместные графики «метод Эйлера– метод Рунге-Кутта».

Полученная в результате описанных действий электронная таблица:

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
	РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	y′=(y+x)2
	Общее решение:	y=tg(x+C)-x	С=	0,7854
	Начальные условия:	Xo=		Yo=
	Промежуток интегрирования:	Хн=		Хк=	0,7
	Шаг интегрирования:	H=	0,035
	х	Эйлер	К0	К1	К2	К3	Р-К	Точное	Ошибка Эйлера	Ошибка Р-К
		1,00000					1,00000	1,00000	0,000000	0,000000
	0,04	1,03500	0,03500	0,03749	0,03758	0,04027	1,03757	1,03757	0,002570	0,000000
	0,07	1,07507	0,04026	0,04314	0,04325	0,04635	1,08080	1,08080	0,005731	0,000000
	0,11	1,12096	0,04635	0,04969	0,04983	0,05344	1,13061	1,13061	0,009642	0,000000
	0,14	1,17357	0,05344	0,05733	0,05750	0,06174	1,18808	1,18808	0,014509	0,000000
	0,18	1,23396	0,06173	0,06631	0,06653	0,07153	1,25457	1,25457	0,020610	0,000000
	0,21	1,30344	0,07153	0,07696	0,07724	0,08320	1,33176	1,33176	0,028317	0,000000
	0,25	1,38361	0,08320	0,08970	0,09006	0,09724	1,42175	1,42175	0,038140	0,000000
	0,28	1,47644	0,09723	0,10510	0,10558	0,11432	1,52723	1,52723	0,050792	0,000000
	0,32	1,58442	0,11431	0,12395	0,12459	0,13539	1,65170	1,65170	0,067279	0,000000
	0,35	1,71069	0,13538	0,14736	0,14822	0,16177	1,79975	1,79975	0,089058	0,000000
	0,39	1,85932	0,16175	0,17689	0,17809	0,19540	1,97760	1,97760	0,118284	0,000001
	0,42	2,03561	0,19537	0,21488	0,21657	0,23919	2,19384	2,19384	0,158234	0,000001
	0,46	2,24666	0,23913	0,26486	0,26735	0,29765	2,46071	2,46071	0,214049	0,000002
	0,49	2,50212	0,29755	0,33245	0,33623	0,37814	2,79621	2,79622	0,294095	0,000005
	0,53	2,81547	0,37797	0,42696	0,43297	0,49329	3,22807	3,22808	0,412608	0,000011
	0,56	3,20603	0,49299	0,56479	0,57493	0,66625	3,80118	3,80120	0,595178	0,000025
	0,60	3,70243	0,66570	0,77695	0,79540	0,94334	4,59347	4,59353	0,891101	0,000062
	0,63	4,34881	0,94221	1,12802	1,16524	1,42855	5,75302	5,75320	1,404392	0,000183
	0,67	5,21641	1,42600	1,77107	1,85803	2,39725	7,59993	7,60060	2,384198	0,000676
	0,70	6,42709	2,39082	3,14403	3,39885	4,79015	10,97771	10,98137	4,554286	0,003661

Таблица индивидуальных заданий

№	Дифференциальное уравнение	Его аналитическое решение	Начальные условия	[xнач,хкон]
			y(0)=0.35	[0, 2]
			y(0)=0.15	[0, 2]
			y(0)=1.35	[0, ]
			y(0)=2.18	[0, ]
			y(0)=0.34	[0, 0.7]
			y(0)=e	[0, 1]
			=1.0	[ , ]
			y( )=1	[ , ]
			y(1)=0	[1, 2]
			y(0)=1.0	[0, 2]
			y(0)=2.0	[0, 0.6]
			=1.0	[ , ]
			y(e)=1.0	[e, 2e]
			=1.0	[ , ]
			y(1)=0.5	[1, 2]
			y(1)=1.25	[1, 20]
			y(1)=0	[1, 2]
			y(0.5)=0	[0.5, 1.3]
			y(1)=0.25	[1, 20]
			y(1)=1.15	[1, 20]
			y(1)= p	[1, 10]
			y(0)=-1.5	[0, 3]
			y(1)=0	[1, 1.5]
			y(0)=1.55	[0, 2]
				[1, 10]
			y(0)=e	[0, 1]
			y(1)=2.0	[1, 10]
			y(1)=1.0	[1, 10]
			y(0)=1.2	[0, 10]
			y(2)=2.0	[2, 10]
			y(0)=1.0	[0, 10]
			y(2)=1.1	[2, 10]
			y(1)=0	[1, 20]
			y(1)=0.5	[1, 10]

5.5. Контрольные вопросы

1. Что является решением дифференциального уравнения?

2. Что является решением задачи Коши?

3. В чем заключается трудность численного решения задачи Коши с помощью рядов Тейлора?

4. Почему методы решения задачи Коши, использованные в данной работе, называются одношаговыми?

5. Каковы порядки точности использованных методов?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Ершов М.Н. Численные методы решения задач: Конспект лекций. / М.Н. Ершов.–Керчь: КГМТУ, 2013,–59с.

2. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бэйсик, Фортран и Паскаль. / А.Е. Мудров.- Томск; : МП «РАСКО», 1991. - 272с.

3. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. Учеб. пособие./ В.Т. Маликов, Р.Н. Кветный – Киев: Высшая школа,1989. - 213с

4. Самарский А.А. Численные методы. / А.А. Самарский, А.В.Гулин. – М.: Наука, 1989.

5. Волков Е.А. Численные методы. / Е.А. Волков. – М.: Наука,1987.

6. Воробьева Г.Н. Практикум по вычислительной математике. Учеб. пособие. / Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. – М.:Высш.шк.,1990. – 208с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М., Наука, 1987.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы. / Н.Н. Калиткин. – М., Наука, 1978.

Ó Михаил Николаевич Ершов

ИНФОРМАТИКА

Методические указания по выполнению контрольной работы по разделу

«Численные методы решения задач»

для студентов 2 курса специальностей 26.05.05 «Судовождение», 26.05.06 «Эксплуатация судовых энергетических установок», 26.05.07 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики» и направления 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника

заочной формы обучения

Тираж_____экз. Подписано к печати_____________.

Заказ №________. Объем 1,7 п.л.

Изд-во ФГБОУ ВО «Керченский государственный морской технологический университет» 298309 г. Керчь, Орджоникидзе, 82.